Esame 3^ Media – Esame di Matematica 5

VERIFICA FINALE

Problema 1

Un trapezio isoscele ha l’area di 216 cm², l’altezza di 9 cm e la base minore 1/3 di quella maggiore. Calcola

a. l’area della superficie totale del solido generato dalla rotazione totale del trapezio intorno alla base minore

b. il peso del solido sapendo che è di legno (ps=0,5)

Problema 2

Risolvi e verifica le seguenti equazioni:

$15x+7-3x=10x+2+4x$

$\frac{2x+5}{2}+\frac{3(2x+5)}{4}-\frac{2x-3}{4}-3=0$

Problema 3

Un corpo si muove di moto uniforme alla velocità di 5 m/sec, ricordando la legge oraria del moto s = v · t, calcola quanto tempo impiega a percorrere 100 m. Considera poi lo spazio costante, indica con x la velocità e con y il tempo, scrivi la funzione che lega le due grandezze, attribuisci alcuni valori a x e calcola i relativi valori di y. Che tipo di relazione esiste tra le due grandezze velocità e tempo? Disegna il grafico relativo.

Problema 4

Una ditta produttrice di biscotti inserisce in una scatola ogni 100, un buono per il ritiro di una confezione omaggio. In un supermercato vengono messe in vendita 200 scatole di biscotti con la garanzia che due di esse contengano il buono. Calcola:

a. La probabilità che ha il primo cliente di trovare il buono

b. Dopo che sono state vendute 120 scatole senza che sia stato trovato nessun buono, qual è la probabilità per il prossimo cliente di trovarne uno?

Risoluzione Problema 1

Area = 216 cm²

h = 9 cm

b2 = 1/3 b1

$Area=\frac{b_1+b_2}{2}h\;\;\;\mbox{da cui}\;\;\;b_1+b_2=\frac{2\cdot Area}{h}=\frac{2\cdot 216}{9}=48\;\;\;cm$

Dividiamo la somma delle due basi (b1+b2=48 cm) in parti uguali secondo il loro rapporto frazionario e troviamo così il valore dell’unità frazionaria

48 cm = b1 ( 2 parti ) + b2 ( 1 parte ) = 3 parti uguali

48/3 = 16 cm —> misura di una parte, l’unità frazionaria

b1 = 2 · 16 = 32 cm —> misura della base maggiore

b2 = 1 · 16 = 16 cm —> misura della base minore

Facciamo ora ruotare il trapezio attorno alla base minore (b2) ottenendo un cilindro con due cavità coniche:

raggio di base cilindro/cono=OA=h=9 cm

Altezza cilindro=AD=b1=32 cm

Altezza cono=BO=AH=(b1-b2)/2=(32-16)/2=8 cm

Apotema cono=AB

$AB=\sqrt{h^2+AH^2}=\sqrt{9^2+8^2}=\sqrt{81+64}=\sqrt{145}=12,04$

a. Calcoliamo l’area della superficie totale del solido generato dalla rotazione totale del trapezio intorno alla base minore

La superficie totale del solido di rotazione è data dalla somma della superficie laterale del cilindro (base = circonferenza di raggio OA e altezza AD) + 2 volte la superficie laterale del cono (base = circonferenza di raggio OA e altezza OB):

$S_{totale}=Sl_{cil}+2\cdot Sl_{cono}=2\pi hb_1+2\cdot \frac{2\pi h\cdot AB}{2}$ da cui:

$S_{totale}=2\pi 9\cdot 32+2\cdot \frac{2\pi 9\cdot 12,04}{2}=576\pi+216,72\pi=792,72\pi\;\;\;cm^2$

b. Calcoliamo il peso del solido sapendo che è di legno (ps=0,5)

Per calcolare il peso del solido dobbiamo calcolarne prima il volume che è uguale al volume del cilindro meno due volte il volume del cono:

$V_{totale}=V_{cil}-2\cdot V_{cono}$

$V_{totale}=Sb\cdot b_1-2\cdot \frac{Sb\cdot OB}{3}=\pi9^2\cdot 32-2\cdot \frac{\pi9^2\cdot 8}{3}=81\cdot 32\pi-2\cdot \frac{81\cdot 8\pi}{3}=2592\pi-432\pi=2160\pi\;\;\;cm^3$

$peso=V_{totale}\cdot ps=2160\pi \cdot 0,5=3391,2\;\;\;g.\;\;\;=3,3912\;\;\;kg$

Risoluzione Problema 2

Risoluzione Equazione 1

$15x+7-3x=10x+2+4x$

$15x-3x-10x-4x=-7+2$

$-2x=-5$

$x=\frac{5}{2}$

Verifica Equazione 1

$15(\frac{5}{2})+7-3(\frac{5}{2})=10(\frac{5}{2})+2+4(\frac{5}{2})$

$\frac{75}{2}+7-\frac{15}{2}=25+2+10$

$\frac{60}{2}+7=37$

$37=37$

Risoluzione Equazione 2

$\frac{2x+5}{2}+\frac{3(2x+5)}{4}-\frac{2x-3}{4}-3=0$

$x+\frac{5}{2}+\frac{6}{4}x+\frac{15}{4}-\frac{2}{4}x+\frac{3}{4}-3=0$

$x+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=-\frac{5}{2}-\frac{15}{4}-\frac{3}{4}+3$

$\frac{2x+3x-x}{2}=\frac{-10-15-3+12}{4}$

$\frac{4}{2}x=-\frac{16}{4}$

$2x=-4$

$x=-2$

Verifica Equazione 2

$\frac{2(-2)+5}{2}+\frac{3(2(-2)+5)}{4}-\frac{2(-2)-3}{4}-3=0$

$\frac{-4+5}{2}+\frac{3(-4+5)}{4}-\frac{-4-3}{4}-3=0$

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{4}-3=0$

$\frac{2+3+7-12}{4}=0$

$\frac{0}{4}=0$ (verifica OK infatti 0/4 = 0 per cui 0=0)

Risoluzione Problema 3

Dalla legge del moto orario s = v · t calcoliamo quanto tempo impiega un corpo, che si muove di moto uniforme, a percorrere 100 m ad una velocità di 5 m/sec:

$t=\frac{s}{v}=\frac{100}{5}=20\;\;\;sec$

Consideriamo ora lo spazio costante (100 m) e indichiamo con x la velocità e con y il tempo; scriviamo la funzione che lega le due grandezze:

$y=\frac{k}{x}$

Attribuiamo ora alcuni valori alla x e calcoliamo i relativi valori di y inserendoli in una tabella:

x	y
2,5	40
5	20
10	10
20	5
40	2,5

Dalla tabella si evince che le due grandezze velocità e tempo indicate rispettivamente con x ed y sono inversamente proporzionali infatti risulta costante il loro prodotto: x · y = k con k=costante di proporzionalità inversa. Disegniamo ora il grafico relativo che è rappresentato da un ramo di iperbole equilatera.

Risoluzione Problema 3

Allora abbiamo in un negozio n. 200 scatole di biscotti con la garanzia che due di esse contengano un buono omaggio.

a. Calcoliamo la probabilità che ha il primo cliente di trovare il buono che sarà dato dal rapporto tra “numero di casi favorevoli/numero di casi possibili” nel nostro problema i casi favorevoli sono 2 mentre quelli possibili sono 200 per cui avremo:

$P_1=\frac{2}{200}=0,01=1%$

b. Dopo che sono state vendute 120 scatole senza che sia stato trovato nessun buono, qual è la probabilità per il prossimo cliente di trovarne uno? A questo punto del problema i casi favorevoli sono sempre 2 mentre quelli possibili sono diminuiti passando a 200 – 120 = 80 per cui avremo:

$P_2=\frac{2}{80}=0,025=2,5%$

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[Formulario] geometria piana

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