Disequazioni goniometriche

Es. n. 552 pag. 824

$2sen2x-\sqrt{3}<0$
Applichiamo le formule di duplicazione
$2(2senxcosx)-\sqrt{3}<0$
moltiplichiamo $-\sqrt{3}$ per $1=sen^2x+cos^2x$
$2(2senxcosx)-\sqrt{3}(sen^2x+cos^2x)<0$
$4senxcosx-\sqrt{3}sen^2x-\sqrt{3}cos^2x)<0$
dividiamo tutto per $cos^2x$
$\frac{4senxcosx}{cos^2x}-\frac{\sqrt{3}sen^2x}{cos^2x}-\frac{\sqrt{3}cos^2x}{cos^2x}<0$
$4tgx-\sqrt{3}tg^2x-\sqrt{3}<0$
cambiamo i segni (ed il verso della disequazione) ottenendo:
$\sqrt{3}tg^2x-4tgx+\sqrt{3}>0$
equazione di 2° grado in tgx con a>0, segno della disequazione >0 quindi soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici che annulla l’equazione
$\sqrt{3}tg^2x-4tgx+\sqrt{3}=0$
Calcolo Delta quarti
$\frac{\Delta}{4}=$\frac{b}{2}$^2-ac$
$2^2-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=4-3=1$
Calcoliamo ora le radici che annullano l’equazione:
$x_{1/2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}$
$tgx_{1/2}=\frac{2\pm\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{2\pm 1}{\sqrt{3}}$
$tgx_1=\frac{2-1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$tgx_2=\frac{2+1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$

Avevamo visto che la disequazione di partenza era soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici che annullano l’equazione associata:
$tgx<\frac{\sqrt{3}}{3}\;\vee\;tgx>\sqrt{3}$
Quindi osservando la figura avremo che la tgx sarà minore di $\frac{\sqrt{3}}{3}$ nel tratto compreso tra $0\;\mbox { e }\; \frac{\pi}{6}$ e nel tratto compreso tra $\frac{4}{3}\pi\mbox\; { e }\; 2\pi$ mentre la tgx sarà maggiore di $\sqrt{3}$ nel tratto compreso tra $\frac{\pi}{3}\;\mbox { e }\; \frac{7}{6}\pi$ quindi in definitiva la soluzione della nostra disequazione di partenza sarà:
$0\leq x< \frac{\pi}{6}\;\vee\;\frac{\pi}{3}<x<\frac{7}{6}\pi\;\vee\;\frac{4}{3}\pi<x\leq2\pi$

Nota importante: x=0 e x=2π sono compresi nella soluzione perchè il valore che assume in quel punto la tgx (cioè 0) risulta essere minore di $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , infatti dal grafico si evince che la soluzione è continua tra $\frac{4}{3}\pi \;\mbox{ e }\;\frac{\pi}{6}$

Es. n. 558 pag. 825

$tg2x\leq 0$

poniamo 2x=t
$tgt\leq 0$

La tg t risulta minore o uguale a zero negli intervalli $\frac{\pi}{2}<t\leq \pi$ e $\frac{3}{2}\pi<t\leq 2\pi$ abbiamo escluso dai risultati $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3}{2}\pi$ in quanto la tg risulta infinito.
Quindi volendo considerare il periodo della tg che risulta essere $k\pi$ per accorpare i risultati ottenuti scriviamo:
$\frac{\pi}{2}+k\pi<t\leq \pi+k\pi$
sostituiamo t=2x ottenendo
$\frac{\pi}{2}+k\pi<2x\leq \pi+k\pi$
dividiamo tutto per 2 ottenendo la soluzione della disequazione:
$\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}<x\leq \frac{\pi}{2}+k\frac{\pi}{2}$

Es. n. 576 pag. 826

$2sen^2x+\sqrt{3}senx \geq 0$
poniamo senx=t
$2t^2+\sqrt{3}t \geq 0$
Si tratta di una disequazione di secondo grado con coefficiente a>0; segno della disequazione maggiore o uguale a 0 per cui è soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici. Troviamo i valori che annullano l’equazione:
$2t^2+\sqrt{3}t=0$
Calcolo il Delta
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=$\sqrt{3}$^2-4\cdot 2\cdot 0=3$
Nel nostro caso c=0 per cui 4ac=0
Calcoliamo ora le radici che annullano l’equazione:
$t_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
$t_{1/2}=\frac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{4}$
$t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{4}=\frac{0}{4}=0$
$t_2=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{4}=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Avevamo visto che la disequazione di partenza era soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici che annullano l’equazione associata:
$t\leq -\frac{\sqrt{3}}{2} \vee t\geq 0$
sostituiamo adesso a t=senx ottenendo:
$senx\leq -\frac{\sqrt{3}}{2} \vee senx\geq 0$
Dalla figura si evince che $senx \geq 0$ tra 0 e π mentre risulta $\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ tra $\frac{4}{3}\pi$ e $\frac{5}{3}\pi$ quindi il risultato finale sarà:
$0+2k\pi\leq x \leq \pi+2k\pi\;\vee\;\frac{4}{3}\pi+2k\pi \leq x \leq \frac{5}{3}\pi+2k\pi$

Es. n. 583 pag. 826

$sen^2x-2 \leq 0$
$sen^2x\leq 2$
Adesso ragionando possiamo dire che essendo il valore che può assumere il seno compreso tra -1 ed 1, il suo quadrato sarà sicuramente < 2 per qualunque x appartenente all’insieme dei numeri reali.
Soluzione: $\forall x \in \mathbb{R}$

Es. n. 641 pag. 830

$3sen^2x+2\sqrt{3}senxcosx-3cos^2x \leq0$
dividiamo ambo i menbri per $cos^2x$
$3\cdot \frac{sen^2x}{cos^2x}+2\sqrt{3}\cdot \frac{senxcosx}{cos^2x}-3\cdot \frac{cos^2x}{cos^2x} \leq0$
$3tg^2x+2\sqrt{3}tgx-3 \leq0$
Si tratta di una disequazione di secondo grado con coefficiente a>0; segno della disequazione $\leq 0$ per cui è soddisfatta per valori interni all’intervallo delle radici. Troviamo i valori che annullano l’equazione:
$3tg^2x+2\sqrt{3}tgx-3=0$
Calcolo Delta quarti
$\frac{\Delta}{4}=$\frac{b}{2}$^2-ac$
$$\sqrt{3}$^2+9=3+9=12$
Calcoliamo ora le radici che annullano l’equazione:
$x_{1/2}=\frac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{3}$
$x_{1/2}=\frac{-\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{3}$
$x_1=\frac{-\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{-3\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}$
$x_2=\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Avevamo visto che la disequazione di partenza era soddisfatta per valori interni all’intervallo delle radici che annullano l’equazione associata:
$-\sqrt{3}\leq tgx \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$
Dalla figura si evince che tgx è compresa tra $-\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ quando x è compreso tra $-\frac{\pi}{3}$ e $\frac{\pi}{6}$ quindi il risultato finale sarà:
$-\frac{\pi}{3}+k\pi\leq x \leq \frac{\pi}{6}+k\pi$