Disequazioni logaritmiche

Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche

Es.1

un po’ di teoria:
in questo caso abbiamo una disequazione del tipo
La prima cosa da fare è stabilire le condizioni di esistenza, infatti il logaritmo è definito quando il suo argomento è strettamente maggiore di zero. Sappiamo anche che le condizioni di esistenza vanno sempre confrontate con le soluzioni che troveremo alla fine. Un modo per non dimenticarsele mai è scriverle mettendole a sistema con la disequazione, ovvero:

Esaminiamo adesso il sistema

e notiamo che è possibile scrivere la seconda disequazione come segue:

e per come è definito il logaritmo sappiamo che, qualunque sia la sua base (purché sia positiva), , dunque possiamo sostituire nella seconda disequazione:

Grazie a una proprietà dei logaritmi sappiamo che per cui sostituento nel sistema avremo

Ora possiamo confrontare gli argomenti dei logaritmi per risolvere le disequazioni, sempre facendo attenzione alla base (ricordate che è semplicemente un numero!).

Se a>1: risolvere la disequazione logaritmica equivale a risolvere una disequazione i cui membri sono gli argomenti dei logaritmi e avente lo stesso verso di quella di partenza:

Se 0<a<1: confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione avente verso opposto a quello della disequazione di partenza:

Il ragionamento è uguale se il segno della disequazione risulta > c; ≥ c; ≤ c.

Torniamo adesso alla nostra disequazione di partenza:

per quanto visto in precedenza otteniamo il seguente sistema:

Essendo la base del logaritmo compresa tra zero e uno cioè : confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione avente verso opposto a quello della disequazione di partenza:

accettabile in quanto è compatibile con la nostra condizione di esistenza che vuole

Es.2

che possiamo scrivere come

da cui otteniamo il sistema

Essendo la base del logaritmo maggiore di zero cioè : confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione avente stesso verso della disequazione di partenza:

Risolviamo ora la disequazione . Sappiamo dalla teoria per la Risoluzione delle disequazioni di secondo grado che essendo a>0; delta>0; segno della disequazione ≤ 0 vuol dire che la disequazione è soddisfatta per valori interni all’intervallo delle radici che annullano l’equazione .

Le radici che annullano l’equazione sono per cui riportando su un grafico le soluzioni del sistema avremo:

per cui avremo che la soluzione della disequazione logaritmica iniziale sarà