Calcolo della probabilità. Esercizi 8

n.76 pag 87 alfa

Si hanno due mazzi di carte da 40. Si estrae da ciascun mazzo una carta. Calcola la probabilità che esse siano due Re, sapendo che sono uscite due figure, e la probabilità che siano due figure, sapendo che sono usciti due re.

Si tratta di probabilità condizionata.
E = estrarre un Re
E1 = estrarre una figura
Bisogna valutare la probabilità di E quando sappiamo che l’evento E1 si è già verificato cioè:
p(E | E1) = probabilità di E condizionata (o subordinata) a E1.
In questa situazione abbiamo un’informazione in più; gli eventi possibili NON sono più 40 (il totale delle carte) ma 12 (il totale delle figure) per cui avremo che il numero dei casi favorevoli sono 4 (i 4 Re) mentre il numero dei casi possibili sono 12 (le 12 figure):
$p_1(E|E_1)=\frac{4}{12}= \frac{1}{3}$
quella appena calcolata è la probabilità di E condizionato da E1 per un solo mazzo di carte, noi però abbiamo due mazzi di carte per cui il risultato totale sarà:
$p_2(E|E_1)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$

Nel secondo caso avremo sempre una probabilità condizionata.
E = estrarre una figura
E1 = estrarre una Re
Bisogna valutare la probabilità di E quando sappiamo che l’evento E1 si è già verificato cioè, come prima p(E|E1) = probabilità di E condizionata (o subordinata) a E1.
Ragionando come per il caso precedente, se è già uscito un Re, la probabilità che il Re sia una figura è un evento certo (infatti il re è una figura) e quindi p(E|E1)=1. Lo stesso sarà per l’estrazione dal secondo mazzo, quindi il risultato totale sarà: p(E | E1)=1•1=1

n.92 pag 89 alfa

Uno scaffale contiene 8 CD di musica classica, 9 CD di musica rock e 7 CD di musica leggera. Si prendono consecutivamente e a caso due CD. Calcola la probabilità che siano:
a) entrambi di musica rock;
b) uno di musica classica e uno di musica leggera.

a) E1 = entrambi i CD estratti siano di musica rock, n.casi favorevoli / n. casi possibili;
per la 1^ estrazione avremo 9/24 (9 CD musica rock su 24 CD totali);
per la 2^ estrazione avremo 8/23 (8 CD musica rock in quanto uno lo abbiamo già estratto su 23 CD rimasti);
Indicando con p(E1) la probabilità che entrambi i dischi siano di musica rock possiamo scrivere:
$p(E_1)= \frac{9}{24}\cdot \frac{8}{23}=\frac{3}{23}$

b) E2 = si estrae un CD di musica classica e uno di musica leggera, i casi che si possono verificare sono due CL (estraiamo prima un CD di musica classica e poi uno di musica leggera) o LC (estraiamo prima un CD di musica leggera e poi uno di musica classica). Calcoliamo quandi il caso CL e poi il caso LC e li sommiamo; oppure possiamo anche calcolare solo il caso CL e moltiplichiamo per due (useremo questa seconda soluzione).
n.casi favorevoli / n. casi possibili;
per la 1^ estrazione avremo 8/24=1/3 (8 CD musica classica su 24 CD totali);
per la 2^ estrazione avremo 7/23 (7 CD musica leggera su 23 CD rimasti);
per cui il risultato totale sarà:
$p(E_2)= 2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{7}{23}=\frac{14}{69}$

n.95 pag 90 alfa

Un’urna contiene 8 palline rosse e 4 gialle. Calcola la probabilità che, estraendo consecutivamente due palline senza rimettere la pallina estratta nel l’urna, esse siano:
a) due palline rosse;
b) due palline gialle;
c) la prima rossa e la seconda gialla;
d) una pallina rossa e l’altra gialla.

a) due palline rosse, n.casi favorevoli / n. casi possibili;
per la 1^ estrazione avremo 8/12=2/3 (8 palline rosse su 12 palline totali);
per la 2^ estrazione avremo 7/11 (7 palline rosse rimaste in quanto una è già stata estratta su 11 palline rimaste);
Indicando con E1 l’evento “si estraggono due palline rosse” avremo che la la probabilità che entrambe le palline siano rosse sarà:
$p(E_1)= \frac{2}{3}\cdot \frac{7}{11}=\frac{14}{33}$

b) due palline gialle, n.casi favorevoli / n. casi possibili;
per la 1^ estrazione avremo 4/12=1/3 (4 palline gialle su 12 palline totali);
per la 2^ estrazione avremo 3/11 (3 palline gialle rimaste in quanto una è già stata estratta su 11 palline rimaste);
Indicando con E2 l’evento “si estraggono due palline gialle“, la probabilità che entrambe le palline estratte siano gialle sarà:
$p(E_2)= \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{1}{11}$

c) la prima rossa e la seconda gialla, n.casi favorevoli / n. casi possibili; importante: l’ordine è stabilito RG (prima rossa e poi gialla e NON viceversa)
per la 1^ estrazione avremo 8/12=2/3 (8 palline rosse su 12 palline totali);
per la 2^ estrazione avremo 4/11 (4 palline gialle su 11 palline rimaste);
Indicando E3 l’evento “estrarre prima una pallina rossa e poi una gialla“, la probabilità che la prima pallina sia rossa e la seconda gialla sarà:
$p(E_3)= \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}=\frac{8}{33}$

d) una rossa e una gialla; importante: in questo caso non ci interessa l’ordine in cui escono i colori delle palline quindi possiamo avere RG (prima rossa e poi gialla) oppure GR (prima gialla e poi rossa). Calcoliamo quandi il caso RG e poi il caso GR e li sommiamo; oppure possiamo anche calcolare solo il caso RG e moltiplichiamo per due (useremo questa seconda soluzione).
Prendiamo il risultato trovato in c) e moltiplicarlo per due
Indicando con E4 l’evento “estrarre una pallina rossa e una gialla” la probabilità sarà:
$p(E_4)=2\cdot \frac{8}{33}=\frac{16}{33}$

n.100 pag 91 alfa

Tre amici giocano a bowling. In base ai risultati delle partite precedenti, si stabilisce che il primo ha probabilità 0,6 di fare strike, il secondo ha probabilità 0,45, il terzo ha probabilità 0,5. Calcola la probabilità che:
a) tutti e tre i giocatori facciano strike;
b) nessun giocatore faccia strike;
c) almeno un giocatore faccia strike.

Per i tre giocarori che indichiamo con A, B e C dai dati del problema abbiamo le seguenti propabilità:
$p(A)=0,6\;\;\;\;\mbox{A\;fa\;strike}$
$p(B)=0,45\;\;\;\;\mbox{B\;fa\;strike}$
$p(C)=0,5\;\;\;\;\mbox{C\;fa\;strike}$
$p(\bar A)=1-0,6=0,4\;\;\;\;\mbox{A\;NON\;fa\;strike}$
$p(\bar B)=1-0,45=0,55\;\;\;\;\mbox{B\;NON\;fa\;strike}$
$p(\bar C)=1-0,5=0,5\;\;\;\;\mbox{C\;NON\;fa\;strike}$

a) E1=tutti fanno strike (ABC):
$p(E_1)=0,6\cdot 0,45\cdot 0,5=0,135$

b) E2=nessuno fa strike $(\bar A \bar B \bar C)$
$p(E_2)=0,4\cdot 0,55\cdot 0,5=0,11$

c) E3=almeno uno fa strike il che significa che strike lo puà fare o solo uno dei tre giocatori, o due dei tre giocatori oppure tutti e tre. andiamo a vedere caso per caso:
Se uno solo fa strike possono verificarsi i seguenti tre casi:
$A\bar B\bar C\;;\;\barA B \bar C\;;\;\bar A \bar B C$
Se due fanno strike possono verificarsi i seguenti tre casi
$AB\bar C\;;\;A \bar B C\;;\;\bar A B \bar C$
Se tutti e tre fanno strike avremo un solo caso
$ABC$
Disogna ora calcolare le probabilità e poi fare la somma:
$p(A\bar B\bar C)=0,6\cdot 0,55\cdot 0,5=0,165$
$p(\bar A B \bar C)=0,4\cdot 0,45\cdot 0,5=0,09$
$p(\bar A \bar B C)=0,4\cdot 0,55\cdot 0,5=0,11$
$p(AB\bar C)=0,6\cdot 0,45\cdot 0,5=0,135$
$p(A \bar B C)=0,6\cdot 0,55\cdot 0,5=0,165$
$p(\bar A B \bar C)=0,4\cdot 0,45\cdot 0,5=0,09$
$p(ABC)=0,6\cdot 0,45\cdot 0,5=0,135$