Calcolo della probabilità. Esercizi 7

Calcolo della probabilità. Esercizi 7

Esercizi assegnati per la preparazione al compito in classe

n.143

Una famiglia possiede due automobil. Ciascuna delle due auto, indipendentemente dall’altra, può trovarsi nella condizione di dover andare in officinacon probabilità 5/12. Qual è la probabilità che questa famiglia abbia entrambe le macchine in officina?

indicando con E1 = probabilità che la prima macchina vada in officina e con E2 = probabilità che la seconda macchina vada in officina; dall’intersezione dei due eventi avremo la risposta al nostro problema:
p(E_1\cap E_2)=p(E_1)\cdot p(E_2)=\frac{5}{12}\cdot \frac{5}{12}=\frac{25}{144}

n.144

Una famiglia possiede due televisori, il cui funzionamento è indipendente uno dall’altro. Per ciascuno dei due televisori, la probabilità di guasto è 1/1000. Qual è la probabilità che entrambi i televisori funzionino?

indicando con E1 = probabilità che il primo televisore si guasti e con E2 = probabilità che probabilità che il secondo televisore si guasti,
Calcoliamo ora la probabilità che i televisori funzionino (evento contrario di E1 ed E2):
p(\overline E_1)=1-\frac{1}{1000}=
\frac{1000-1}{1000}=\frac{999}{1000}
Lo stesso avremo anche per il secondo televisore:
p(\overline E_2)=\frac{999}{1000}

Ora possiamo calcolare la probabilità che entrambi i televisori funzionino:
p(\overline E_1\cap \overline E_2)=p(\overline E_1)\cdot p(\overline E_1)=
\frac{999}{1000}\cdot \frac{999}{1000}=\frac{998001}{1000000}=0,998001

n.145

Due cacciatori che colpiscono il bersaglio con probabilità rispettive 85% e 75%, sparano contemporaneamente a una lepre. Qual è la probabilità che ha la lepre di sfuggire ai cacciatori se ogni cacciatore ha sparato un solo colpo?

Calcoliamo la probabilità dei due cacciatori di NON colpire il bersaglio:
p(\overline E_1)=1-0,85=0,15
p(\overline E_2)=1-0,75=0,25

Ora possiamo calcolare la probabilità che entrambi i cacciatori NON colpiscano il bersaglio e quindi la lepre, se è furba, scappa:
p(\overline E_1)\cap p(\overline E_2)=p(\overline E_1)\cdot p(\overline E_1)=
0,15\cdot 0,25=0,375

Es.146

Per una persona bloccata sotto una valanga la probabilità di sopravvivere dopo un’ora è del 15%. Una squadra di soccorso raggiunge il luogo dove due escursionisti sono coperti da una valanga caduta un’ora prima. Supponendo che la sopravvivenza di ciascun escursionista sia indipendente dalla sopravvivenza dell’altro, qual è la probabilità di trovare in vita:
a) entrambi gli escursionisti;
b) almeno uno degli escursionisti.

a. entrambi sopravvivono:
p(E_1\cap E_2)=p(E_1)\cdot p(E_2)=\frac{15}{100}\cdot \frac{15}{100}=
=\frac{3}{20}\cdot \frac{3}{20}=\frac{9}{400}

b. almeno uno sopravvive:

sappiamo che la probabilità di sopravvivere per ognuno dei due escursionisti è del 15% cioè:
p(E_1)=p(E_2)=15%=\frac{15}{100}
mentre la probabilità per ognuno di NON sopravvivere sarà data da:
[eq]p(\overline E_1=p(\overline E_2)=1-15%=85%=1-\frac{15}{100}=\frac{85}{100}

Ora affinché almeno uno sopravviva posono verificarsi tre casi: l’escursionista A sopravvive e B no; l’escursionista B sopravvive e A no; sia A che B sopravvivono:
Quindi il calcolo da effettuare per dare risposta al quesito b. sarà:
p(E_1\cap \overline E_2)+p(\overline E_1\cap E_2)+p(E_1\cap E_2)=
p(E_1)\cdot p(\overline E_2)+p(\overline E_1)\cdot p(E_2)+p(E_1)\cdot p(E_2)=
\frac{15}{100}\cdot \frac{85}{100}+\frac{85}{100}\cdot \frac{15}{100}+\frac{15}{100}\cdot \frac{15}{100}=
\frac{3}{20}\cdot \frac{17}{20}+\frac{17}{20}\cdot \frac{3}{20}+\frac{3}{20}\cdot \frac{3}{20}=
\frac{51}{400}+\frac{51}{400}+\frac{9}{400}=\frac{111}{400}

n.147

Barbara il sabato sera va a mangiare in pizzeria con probabilità uguale al 95% e sceglie casualmente fra la pizzeria A e la pizzeria B. Paolo va a mangiare in pizzeria tutti i sabati sera, nella stessa ora di Barbara, scegliendo anche lui casualmente tra la pizzeria A e la pizzeria B. Qual è la probabilità che in un dato sabato Barbara e Paolo si incontrino nella pizzeria A?

Allora sappiamo che Barbara (X) ha una probabilità di andare a mangiare in pizzeria il sabato sera del 95% e sappiamo che Paolo (Y) invece ci va tutti i sabato sera, quindi la sua probabilità è del 100%
Indichiamo ora con X(A) e X(B) che Barbara vada a mangiare nelle pizzeria A o B e con Y(A) e Y(B) che Paolo vada a mangiare nelle pizzeria A o B e vediamo le varie
X(A); Y(A) = sia Barbara che Paolo vanno a mangiare nella pizzeria A
X(B); Y(B) = sia Barbara che Paolo vanno a mangiare nella pizzeria B
X(A); Y(B) = Barbara va nella pizzeria A e Paolo va a mangiare nella pizzeria B
X(B); Y(A) = Barbara va nella pizzeria B e Paolo va a mangiare nella pizzeria A

per cui se entrambi andassero tutti i sabato sera in pizzeria (cioè probabilità del 100% per entrambi di andare in pizzeria) avremmo che la probabilità di incontrarsi nella pizzeria A sarebbe una su quattro cioè 1/4 (X(A); Y(A) la prima che abbiamo scritto in precedenza). Barbara però ci va al 95% per cui avremo:
p(X_A, Y_A)=\frac{1}{4}\cdot \frac{95}{100}=\frac{95}{400}

n.148

Una città ha una squadra di basket e una di calcio. Si stima che la probabilità che la prima vinca il suo campionato è del 25%, mentre la probabilità che la seconda vinca il suo è del 30%. Calcola la probabilità che:
a. entrambe le squadre vincono il campionato;
b. nessuna delle due squadre vince il campionato;
c. almeno una delle due squadre vince il campionato;
d. solo una delle due squadre vince il campionato.

Squadra di basket (B) vinca campionato = 25%=0,25=25/100=1/4
Squadra di calcio (C) vinca campionato = 30%=0,30=30/100=3/10
Squadra di basket (B) NON vinca campionato = (1-25%)=75%=0,75=75/100=3/4
Squadra di calcio (C) NON vinca campionato = (1-30%)=70%=0,70=70/100=7/10

a. vincono entrambe
p(B\cap C)=p(B)\cdot p(C)=
\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{40}

b. nessuna vince
p(\overline B\cap \overline C)+p(\overline B)\cdot p(\overline C)=
\frac{3}{4}\cdot \frac{7}{10}=\frac{21}{40}

c. vince almeno una delle due
“almeno una” vuol dire che vince una delle due o vincono tutte e due:
p(B\cap \overline C)\cup p(\overline B\cap C)\cup p(B\cap C)=
p(B)\cdot p(\overline C)+p(\overline B)\cdot p(C)+p(B)\cdot p(C)=
\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{10}+\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{10}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{10}=
\frac{7}{40}+\frac{9}{40}+\frac{3}{40}=\frac{19}{40}

d. solo una delle due vince
“solo una” vuol dire che o B vince e C perde oppure B perde e C vince per cui possiamo scrivere:
p(B\cap \overline C)\cup p(\overline B\cap C)=
p(B)\cdot p(\overline C)+p(\overline B)\cdot p(C)=
\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{10}+\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{10}=
\frac{7}{40}+\frac{9}{40}=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}

n.149

Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche, numerate da 1 a 6 e 4 nere numerate da 1 a 4. Si estraggono dall’urna due palline, simultaneamente.
a. Determina la probabilità dellevento A: estrarre due palline bianche.
b. Determina la probabilità dellevento B: estrarre due palline dello stesso colore.
c. Determina la probabilità dellevento C: estrarre due palline che recano un numero dispari.
d. Gli eventi A e B sono indipendenti? Gli eventi A e C? Gli eventi B e C?.

a. estrarre due palline bianche (BB):
Primo tiro: esce una pallina bianca; casi favorevoli / casi possibili = 6/10=3/5 (6 palline bianche su 10 palline totali);
Secondo tiro: esce di nuovo una pallina bianca; casi favorevoli / casi possibili = 5/9 (5 palline bianche in quanto 1 l’ho già estratta al primo tiro, su 9 palline rimaste);
p(BB)=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{9}=
\frac{15}{45}=\frac{1}{3}

b. estrarre due palline dello stesso colore (BB o NN):
Vuol dire estrarne due bianche oppure due nere per cui avremo:
p(BB)\cup p(NN)
p(BB) lo abbiamo calcolato in a. ed è uguale a 1/3
Calcoliamo p(NN):
Primo tiro: esce una pallina nera; casi favorevoli / casi possibili = 4/10=2/5 (4 palline nere su 10 palline totali);
Secondo tiro: esce di nuovo una pallina nera; casi favorevoli / casi possibili = 3/9=1/3 (3 palline nere in quanto 1 l’ho già estratta al primo tiro, su 9 palline rimaste);
p(NN)=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{15}
p(BB)\cup p(NN)=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=
\frac{5+2}{15}+\frac{7}{15}=

c. estrarre due palline dispari:
numeri dispari delle palline bianche {1,3,5}; numeri dispari delle palline nere {1,3} quindi in totale abbiano 5 numeri dispari per cui avremo:
Primo tiro: esce una pallina con numero dispari; casi favorevoli / casi possibili = 5/10=1/2 (5 palline con numero dispari su 10 palline totali);
Secondo tiro: esce di nuovo un numero dispari; casi favorevoli / casi possibili = 4/9 (4 palline con numero dispari in quanto 1 l’ho già estratta al primo tiro, su 9 palline rimaste);
p(DD)=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9}=\frac{2}{9}

d. gli eventi sono indipendenti?
A e B NON sono indipendenti in quanto estrarre due palline bianche equivale ad estrarne due delle stesso colore;
B e C NON sono indipendenti in quanto due palline dello stesso colore possono essere contrassegnate da un numero dispari;
A e C NON sono indipendenti in quanto due palline bianche possono essere contrassegnate da un numero dispari.

n.150

Siano A e B due eventi indipendenti, tali che p(A\cup B)=\frac{4}{5} e p(\overline B)=\frac{3}{5} Calcola la probabilità dell’evento A.

Sappiamo che:
A e B sono due eventi indipendenti;
p(A\cup B)=\frac{4}{5}
p(\overline B)=\frac{3}{5}\;\;\Rightarrow\;\;p(B)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}
essendo poi :
p(A\cup B)=p(A)+p(B)
sostituendo avremo:
\frac{4}{5}=p(A)+\frac{2}{5}
p(A)=\frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}

n. 151

Paolo si reca in biblioteca per prendere in prestito due libri di suo interesse. La probabilità che il primo libro che desidera Paolo sia già in prestito è 0,4; la probabilità che il secondo libro che desidera Paolo sia già in prestito è 0,3. La probabilità che almeno uno dei due libri sia già in prestito è p.
a. esprimi in funzione di p la probabilità che entrambi i libri siano già in prestito.
b. Determina per quale valore di p i due eventi <<il primo libro è già in prestito>> e <<il secondo libro è già in prestito>> sono indipendenti.
c. In corrispondenza del valore di p determinato al punto b., determina la probabilità che esattamente uno dei due libri sia già in prestito.

a. per rispondere a questa domanda usiamo la formula della probabilità SOMMA LOGICA DI DUE EVENTI:
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) da cui ricaviamo:
p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B) sostituendo
p(A\cap B)=0,4+0,3-p=0,7-p

b. per rispondere a questa domanda usiamo ancora la formula della probabilità SOMMA LOGICA DI DUE EVENTI:
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) sostituendo:
p(A\cup B)=0,4+0,3-(0,4\cdot 0,3)
p(A\cup B)=0,7-0,12=0,58

c. esattamente uno dei due libri sia già in prestito:
Affinchè si verifichi questa condizione dovrà essere disponibile il libro A e in prestito il libro B oppure l’inverso (in prestito il libro A e disponibile il libro B) per cui possiamo scrivere:
p(A\cap \overline B)+p(\overline A\cap B)=
0,4\cdot (1-0,3)+(1-0,4)\cdot 0,3=
0,4\cdot 0,7+0,6\cdot 0,3=
0,28+0,18=0,46

Maggio 21, 2016 Calcolo probabilità No Comments »


Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

error: Contenuto protetto !!

Apri un sito e guadagna con Altervista - Disclaimer - Segnala abuso - Privacy Policy - Personalizza tracciamento pubblicitario