[Algebra] Risolvere i sistemi di disequazioni (es.180 pag.627)

 Es.180 pag.627

Risolvere il seguente sistema di disequazioni lineari.

Per risolvere un SISTEMA di DISEQUAZIONI significa trovare, se esistono, i VALORI dell’INCOGNITA che SODDISFANO CONTEMPORANEAMENTE le disequazioni date.
Ogni soluzione comune a tutte le disequazioni del sistema rappresenta la SOLUZIONE DEL SISTEMA.

Il procedimento per risolvere un sistema di disequazioni è riconducibile a due passaggi:
1. risolvere singolarmente le disequazioni assegnate e determinarne gli insiemi delle soluzioni;
2. determinare l’insieme delle soluzioni del sistema, confrontando con lo schema/grafico delle soluzioni quelle trovate al passaggio precedente.

Risolviamo singolarmente ciascuna delle disequazioni del sistema.

a) La prima è una disequazione razionale fratta e si risolve così:

il mcm è 2(x-3)

Studiamo ora il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x).

A questo punto studiamo il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x) e indipendentemente dal segno riportato nella disequazione frazionaria di partenza vediamo quando questi risultano positivi (>0); è evidente infatti che, dove non sono positivi o nulli, allora sono negativi.

Il numeratore è positivo,  N(x)>0 per:

moltiplico ambo i membri per –1 cambiando segno e verso alla disequazione:

Quindi il numeratore è positivo [N(x)>0] per x<5/2; sarà negativo [N(x)<0] per x>5/2 e si annullerà [N(x)=0] per x=5/2.

Esaminiamo ora il denominatore. Naturalmente essendo il 2 al denominatore sempre positivo avremo che esso sarà positivo per:

x –3>0;    x > 3

quindi il denominatore sarà positivo [D(x)>0] per x>3; sarà negativo [D(x)<0] per x < 3 e si annullerà [D(x)=0] per x = 3 e quindi in questo caso la disequazione fratta NON ESISTE in quanto il denominatore vale zero (si annulla).

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico riassuntivo studiando il segno della frazione:

Dal grafico possiamo dedurre il segno della nostra frazione iniziale (a); infatti la nostra frazione è minore di zero in due intervalli distinti: per x minore di 5/2 e per x > 3. Per x=3 invece il denominatore si annulla e la frazione non è definita (non esiste) e quindi x=3 deve essere escluso. Il risultato finale sarà:

b) Svolgiamo ora la seconda disequazione del sistema:

La seconda è una disequazione prodotto, cioè una disequazione che, ridotta in forma normale mediante i principi di equivalenza e il calcolo algebrico, presenta al primo membro un polinomio scomponibile in fattori, nel nostro caso, di primo grado. La nostra disequazione è formata da due fattori. Studiamo il segno di ciascun fattore e vediamo quando questi risultano positivi (> 0); è evidente infatti che, dove non sono positivi o nulli, allora sono negativi:

I)

moltiplico ambo i membri per –1 cambiando segno e verso alla disequazione:

Quindi il primo fattore è positivo per x < 7/2; sarà negativo per x > 7/2 e si annullerà per x = 7/2.

II)
5+x>0;    x > –5
Il secondo fattore invece è positivo per x > –5; sarà negativo per x < –5 e si annullerà per x = –5.

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico riassuntivo studiando il segno del primo fattore moltiplicato per il secondo fattore.

Dal grafico possiamo dedurre il segno della nostra disequazione prodotto; infatti la nostra disequazione è maggiore o uguale a zero in un unico intervallo : per x compreso tra –5 e 7/2 (estremi inclusi). Il risultato finale sarà:

Riportiamo ora i risultati su un unico grafico e cerchiamo le soluzioni comuni:

Dal grafico deduciamo che la soluzione del sistema è rappresentata dagli intervalli dove tutte le disequazioni sono soddisfatte contemporaneamente, che graficamente si traduce nel cercare gli intervalli dove tutte e due le disequazioni a) e b) hanno una linea continua tracciata al suo interno. Guardando lo schema vediamo che questa condizione è soddisfatta in due intervalli distinti: per x compreso tra –5 e 5/2 e per x compreso tra 3 e 7/2; quindi la soluzione finale è data da: