[Algebra] Risolvere le disequazioni razionali fratte (es.51 pag.624)

EXE n.51 pag.624

Risolvere la seguente disequazione razionale fratta

Si tratta di una disequazione in cui l’incognita compare in almeno un denominatore pertanto ci troviamo di fronte a una disequazione frazionaria. Come procediamo per risolverla? Cominciamo a ridurla in forma normale cioè a una disequazione che assume la forma definitiva di numeratore in funzione di x fratto denominatore in funzione di x maggiore o uguale a 0:

Nella disequazione di partenza mettiamo in evidenza al denominatore:

Al II° membro possiamo scrivere il denominatore come:

Al II° membro, il segno “–” che si trova al denominatore, davanti al numero 3, lo possiamo riportare davanti alla linea di frazione

Ora portiamo tutto al primo membro ottenendo:

Calcoliamo il minimo comune multiplo (mcm)

Studiamo ora il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x).

Per studiare il segno del numeratore basta andare a vedere quando esso è positivo (cioè quando è maggiore di 0); è evidente infatti che, dove non è positivo o nullo, allora è negativo. Analogamente si procederà per il denominatore.

N(x) > 0 per 2x-1 >0 cioè per:

naturalmente per x=1/2 il numeratore si annulla e per x < 1/2 il numeratore risulta negativo.

D(x) > 0 per x-1 >0 cioè per x > 1 naturalmente per x=1 il denominatore si annulla e quindi la frazione non è definita (non esiste); mentre per x < 1 il denominatore risulta negativo.

Costruiamo ora un grafico riassuntivo del segno del numeratore e del denominatore:

Dal grafico possiamo dedurre il segno della nostra frazione iniziale; infatti la nostra frazione è maggiore o uguale a 0 in due intervalli distinti: per x minore o uguale a 1/2 e per x > 1. Per x=1 invece il denominatore si annulla e la frazione non è definita e quindi x=1 va escluso. Il risultato finale sarà: