[Algebra] Risolvere il seguente polinomio con coefficienti frazionari applicando tutte le regole note dei prodotti notevoli

Es. n. 5 pag. 322

Risolvere il seguente polinomio con coefficienti frazionari applicando tutte le regole note dei prodotti notevoli.

$\left(\frac{3}{2}a+b\right)^3-$

$-\frac{3}{2}a\left[\left(\frac{3}{2}a+b\right)^2+\left(a-\frac{1}{4}b\right)\left(a+\frac{1}{4}b\right)-\left(a-\frac{3}{4}b\right)^2+\frac{7}{3}b\left(2a+\frac{9}{8}b\right)\right]=$

Sviluppiamo per prima cosa il cubo del binomio, i quadrati dei binomi e il prodotto notevole del tipo (a+b)(a-b) ottenendo:
$\frac{27}{8}a^3+b^3+\frac{27}{4}a^2b+\frac{9}{2}ab^2-$

$-\frac{3}{2}a\left[\frac{9}{4}a^2+b^2+3ab+a^2-\frac{1}{16}b^2-\left(a^2+\frac{9}{16}b^2-\frac{3}{2}ab \right )+\frac{14}{3}ab+\frac{21}{8}b^2 \right ]=$

Adesso togliamo i segni davati alle parentesi tonde e vediamo se ci sono termini che si annullano:
$\frac{27}{8}a^3+b^3+\frac{27}{4}a^2b+\frac{9}{2}ab^2-\frac{3}{2}a\left[\frac{9}{4}a^2+b^2+3ab+a^2-\frac{1}{16}b^2-a^2-\frac{9}{16}b^2+\frac{3}{2}ab+\frac{14}{3}ab+\frac{21}{8}b^2 \right ]=$

$\frac{27}{8}a^3+b^3+\frac{27}{4}a^2b+\frac{9}{2}ab^2-$

$-\frac{3}{2}a\left[\frac{9}{4}a^2+b^2+3ab+\cancel{a^2}-\frac{1}{16}b^2-\cancel{a^2}-\frac{9}{16}b^2+\frac{3}{2}ab+\frac{14}{3}ab+\frac{21}{8}b^2 \right ]=$

Ora effettuiamo la moltiplicazione dei termini presenti nelle parentesi quadre:
$\frac{27}{8}a^3+b^3+\frac{27}{4}a^2b+\frac{9}{2}ab^2-\frac{27}{8}a^3-\frac{3}{2}ab^2-\frac{9}{2}a^2b+\frac{3}{32}ab^2+\frac{27}{32}ab^2-\frac{9}{4}a^2b-7a^2b-\frac{63}{16}ab^2$

Adesso applichiamo ove possibile la regola della cancellazione e raggruppiamo i termini simili:
$\cancel{\frac{27}{8}a^3}-\cancel{\frac{27}{8}a^3}+b^3+\frac{27}{4}a^2b-\frac{9}{2}a^2b-\frac{9}{4}a^2b-7a^2b+\frac{9}{2}ab^2-\frac{3}{2}ab^2+\frac{3}{32}ab^2+\frac{27}{32}ab^2-\frac{63}{16}ab^2$

Raccogliamo adesso i termini simili (con la stessa parte letterale):
$b^3+\left(\frac{27}{4}-\frac{9}{2}-\frac{9}{4}-7\right)a^2b+\left(\frac{9}{2}-\frac{3}{2}+\frac{3}{32}+\frac{27}{32}-\frac{63}{16} \right )ab^2=$

Calcoliamo ora il mcm dei coefficienti numerici frazionari in parentesi:
$b^3+\left(\frac{27-18-9-28}{4}\right)a^2b+\left(\frac{144-48+3+27-126}{32}\right )ab^2=$
$b^3+\left(\frac{-\cancel{28}^7}{\cancel{4}^1}\right)a^2b+\left(\frac{0}{32}\right )ab^2=$
$b^3-7a^2b$

skuolablog Marzo 26, 2019 Algebra, Esercizi Polinomi Algebra, Matematica No Comments »

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