[Algebra] Disequazioni – Esercizi
Es. 209 pag. 712
scomponiamo in fattori il primo polinomio tra parentesi come somma e prodotto: S = ─ 6, P =+ 9; quindi x1 = ─ 3 e x2 = ─ 3
Studiamo adesso il segno dei tre fattori:
Applichiamo adesso la regola dei segni:
Dall’analisi dei segni risulta che la disequazione nel complesso (grafico in rosso) è > 0 per x > ─ 2 ma a noi occorre anche comprendere i risultati per cui il prodotto si annulla e cioè è = 0 pertanto analizzando l’espressione (x-3)(x-3)(x+2)=0 avremo:
- x-3=0 per x=3 ma il risultaro +3 per cui il prodotto si annulla è già compreso in x > ─ 2;
- x+2=0 per x= ─ 2 NON compreso in x> ─2 pertanto per comprenderlo basterà scrivere x≥ ─ 2.
Pertanto il risultato sarà x ≥ ─2 (notare che il pallino del ─2 nel grafico in rosso è pieno in quanto ─2 è compreso tra i risultati della disequazione).
Es. 210 pag. 712
scomponiamo in fattori il secondo ricordando che a² = a·a per cui avremo:
Studiamo adesso il segno dei tre fattori:
infatti qualunque valore assegniamo alla x (positivo o negativo), il suo quadrato da sempre un numero positivo che sommato a +4 è sempre >0 (anche se x = 0 il risultato è +4 che è > 0).
Applichiamo adesso la regola dei segni:
Dall’analisi dei segni risulta che la disequazione nel complesso (grafico in rosso) è < 0 per x < 0 ma a noi occorre anche comprendere i risultati per cui il prodotto si annulla e cioè è = 0 pertanto analizzando l’espressione 2x(x-1)(x-1)(x²+4)=0 avremo:
- 2x=0 per x=0 ma il risultaro x<0 non comprende lo zero pertanto dovremo scrivere x≤o;
- x-1=0 per x= 1 NON compreso in x≤o pertanto per comprenderlo dovremo scrivere anche x=1;
- x²+4=0 non si verifica mai in quanto qualunque numero al quadrato da sempre un risultato positivo che sommato a +4 (positivo) risulta ancora positivo (anche se x = 0 il risultato è +4 che è ≠ 0).
Pertanto il risultato finale sarà x≤ 0 v x=1 (notare che il pallino dello 0 e di 1 nel grafico in rosso sono pieni in quanto entrambi annullano la disequazione e quindi sono compresi tra i risultati della disequazione).
Es. 212 pag. 712
scomponiamo mettendo in evidenza per cui avremo:
Scomponiamo in fattori il polinomio tra parentesi come somma e prodotto: S= ─ 5, P=+ 6; quindi x1 = ─ 2 e x2 = ─ 3
Studiamo adesso il segno dei tre fattori:
infatti qualunque numero al quadrato è sempre positivo;
Applichiamo adesso la regola dei segni:
Dall’analisi dei segni risulta che la disequazione nel complesso (grafico in rosso) è < 0 per 2< x < 3 (x compreso tra 2 e 3) non vi è il segno di uguaglianza pertanto il nostro risultato finale sarà 2 < x < 3 (notare che il pallino dello 2 e del 3 nel grafico in rosso sono vuoti in quanto queste soluzioni porterebbero ad annullare la disequazione e quindi 2 e 3 NON sono compresi tra i risultati della disequazione.