[Algebra] Disequazioni

Introduzione

Si dice disequazione una disuguaglianza tra due espressioni algebriche. Dette A e B le due espressioni algebriche, la disequazione si presenterà nella forma:

A < B  oppure  A > B

E’ consuetudine considerare disequazioni anche le relazioni: A ≥ B e A ≤ B che consentono l’uguaglianza dei due membri.

Analogamente a quanto detto in relazione alle equazioni, assumiamo che:

• Un numero (coppia, terna … di numeri) si dice soluzione di una disequazione se, sostituito nei due membri, rende vera la disuguaglianza.
• Risolvere una disequazione significa determinare l’insieme di tutte le sue soluzioni.
• Con riferimento alla sua forma algebrica una disequazione potra essere intera o fratta.
• Con riferimento alle lettere presenti potra essere numerica o letterale.
• Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Disequazioni in una incognita

Il metodo per risolvere una disequazione, analogamente a quanto visto con le equazioni, consiste nel trasformarla in una ad essa equivalente della quale sia immediato determinare le soluzioni. A questo scopo si usano i principi di equivalenza delle disequazioni

(Primo principio di equivalenza)
Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica (purche esista per gli stessi valori per i quali esistono i due membri) si ottiene una disequazione equivalente a quella iniziale.
Questo teorema ha come conseguenze pratiche il principio del trasporto e quello di cancellazione

(Secondo principio di equivalenza)
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per una stessa espressione algebrica non nulla (purché esista per gli stessi valori per i quali esistono i due membri) si ottiene una disequazione equivalente a quella iniziale, ma con verso cambiato se la quantità è negativa.
La necessità di cambiare il verso della disequazione nel caso si moltiplichi o si divida per una quantità negativa, risulta evidente applicando il secondo principio, per esempio, alla relazione 5 < 7; se moltiplichiamo i due membri per -2 è scorretto, mantenendo il verso, scrivere -10 < -14, la disuguaglianza corretta è invece -10 > -14.

Vediamo adesso qualche esempio:

Esempo 1

  eliminiamo da entrambi i membri e spostiamo (regola del trasporto), cambiando di segno, tutte le x a sinistra del segno < e tutti i termini noti a destra:

Da questo risultato è possibile affermare che la disequazione è soddisfatta per qualunque x appartenente all’insieme dei numeri Razionali (Q) tale che x < -4/3 o meglio:

quindi la disequazione ammette infinite soluzioni.

La disequazione risulta soddisfatta per x < -4/3. Da notare che il valore -4/3 non è compreso nelle soluzioni in quanto se x = -4/3 il risultato della disequazione sarebbe -4/3 < -4/3 cosa impossibile.

Esempo 2

      m.c.d. = 10

   a questo punto spostiamo (regola del trasporto), cambiando di segno, tutte le x a sinistra del segno di disequazione e tutti i termini noti a destra:

Dal risultato è possibile affermare che la disequazione è soddisfatta per qualunque x appartenente all’insieme dei numeri Razionali (Q) tale che x ≥ 2 o meglio:

quindi la disequazione ammette infinite soluzioni.

La disequazione risulta soddisfatta per x ≥ 2. Da notare che il valore 2 è compreso nelle soluzioni in quanto se x = 2 il risultato della disequazione è 2 ≥ 2 cosa verosimile in quanto, in questo caso, è contemplata anche l’uguaglianza delle due espressioni.

Testo tratto dall'ebook "Matematica 2" ITIS V.Volterra di San Donà di Piave