Esame di Stato liceo scientifico – Anno 2023 – Quesito 1

Sia ABC un triangolo rettangolo in A. Sia O il centro del quadrato BCDE costruito sull’ipotenusa, dalla parte opposta al vertice A. Dimostrare che O è equidistante dalle rette AB e AC.

Svolgimento:

Consideriamo il triangolo rettangolo dato rettangolo in A e sull’ipotenusa BC disegniamo il quadrato BCDE.

Consideriamo le diagonali del quadrato BD e CE, queste si intersecano nel punto O e hanno la proprietà di essere bisettrici degli angoli ai vertici del quadrato (divide gli angoli B, C, D ed E in due parti uguali di 45°) e il punto O divide le diagonali in parti uguali cioè CO=OE=BO=OE.

Tracciamo ora dal punto O le perpendicolari ai due cateti AB e AC che incontrano i cateti stessi rispettivamente nei punti H e K.
Il problema ci chiede di dimostrare che O è equidistante dalle rette AB e AC cioè che OH=OK.

Consideriamo i due triangoli BOH e COK, indicando con l’angolo avremo che l’angolo e l’angolo ; consideriamo ora l’angolo esterno , infatti l’angolo per cui avremo che:

Ora considerando che i due triangoli rettangoli BOH e COK hanno uguali l’ipotenusa per costruzione (OB=OC), l’angolo retto e l’angolo acuto per cui sono congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli rettangoli aventi congruenti l’ipotenusa e uno degli angoli acuti avranno congruenti tutti gli altri elementi, in particolare il cateto OH=OK.

C.V.D.