[Geometria] Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, traccia l’altezza AH e la parallela per H al lato AB. La perpendicolare per C a BC interseca tale parallela in P. Dimostra che AHCP è un rettangolo.

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[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, traccia l’altezza AH e la parallela per H al lato AB. La perpendicolare per C a BC interseca tale parallela in P. Dimostra che AHCP è un rettangolo.[/su_note]

[su_box title=”Ipotesi:”]Hp: ABC è un triangolo isoscele;   AH altezza del triangolo ABC;   HP // AB;   CP perpendicolare ad AH.[/su_box]
[su_box title=”Tesi:”]Th: il quadrilatero AHCP è un rettangolo.[/su_box]

Adesso per prima cosa esaminiamo i dati del problema: 

Il triangolo ABC è isoscele su base BC il che significa che gli angoli alla base sono uguali cioè .
L’altezza AH nel triangolo isoscele ABC  è anche mediana e bisettrice per cui avremo che .

Il segmento HP // AB per ipotesi.

Il segmento CP ⊥ AH per ipotesi il che significa che AH // CP.

Consideriamo le rette parallele AH e CP tagliate dalla trasversale AC che formano angoli alterni interni uguali per cui avremo che:

Consideriamo ora i due triangoli ACH e ACP che risultano congruenti per il SECONDO criterio di congruenza in quanto hanno un lato congruente (AC che è comune ad entrambi i triangoli) e gli angoli ad esso adiacenti congruenti; questo implica che avranno congruenti tutti gli altri elementi in particolare HC = AP,  AH = CP e gli angoli . Ma essendo i lati opposti del nostro quadrilatero congruenti e i lati consecutivi tra loro perpendicolari significa che esso è un rettangolo.

C.V.D.