Es.453 pag.224

Scrivi le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da coppie di rette: x+6y+2=0, 6x+y-1=0.

Sono date le rette

r1: x+6y+2=0
r2: 6x+y-1=0

La bisettrice è definita come l’insieme dei punti che sono equidistanti da queste due rette. Sia P(X,Y) [uso le maiuscole per non confonderli con le x ed y delle rette] un punto della bisettrice. Allora, per definizione di bisettrice : d(P, r1) = d(P, r2)

Ricordando ora la formula per la distanza punto-retta:
   avremo

Imponiamo ora d(P, r1) = d(P, r2):

moltiplichiamo ambo i membri per   ottenendo

Per eliminare i moduli dobbiamo considerare due casi: togliamo i moduli e lasciando inalterati i segni, oppure togliamo i moduli cambiando di segno uno dei due membri; in questo caso in 2° membro ottenendo:

  (1)

  (2)

Dalla (1) avremo:

Dalla (2) avremo:

Come si può vedere abbiamo ottenuto le equazioni di due rette. Infatti è proprio ciò che deve accadere, visto che due rette incidenti determinano 4 angoli (a due a due opposti al vertice) e dunque DUE bisettrici.