SEI PRONTO PER LA VERIFICA?

Matematica.Blu.2.0 Terza Edizione – Prova A – pag. 1990 – esercizio n.2

Calcola i seguenti integrali
Esercizio 2.a.

$\int \frac{x-4}{x+3}\;dx$

Per scomporre/semplificare effettuiamo una divisione tra il polinomio al numeratore e quello al denominatore ottenendo:

Ora applicando la formula della divisione tra polinomi per cui il numeratore fratto il denominatore è uguale al quoziente più il resto fratto il denominatore e cioè $\frac{N(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}$ ; possiamo scrivere:

$\int \frac{x-4}{x+3}\;dx=$

$=\int 1+\frac{-7}{x+3}\;dx=$

$=\int 1\;dx-7\int\frac{1}{x+3}\;dx=$

$=x-7ln|x+3|$

Esercizio 2.b.

$\int x\cdot \sin 2x\;dx$

Risolviamo l’integrale con l’integrazione per parti usando la formula::

$\int f\cdot g'=f\cdot g-\int f'\cdot g$

$f=x \; \Rightarrow \; f'=1$

$g'=\sin 2x \; \Rightarrow \; g=-\frac{1}{2}\cos 2x$

$\int x\sin 2x\;dx=-\frac{1}{2}x\cos 2x-\int -\frac{1}{2}\cos 2x\;dx$

$\int x\sin 2x\;dx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\int \frac{1}{2}\cos 2x\;dx$

$\int x\sin 2x\;dx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\int \cos 2x\;dx$

$\int x\sin 2x\;dx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin 2x\;dx$

$\int x\sin 2x\;dx=\frac{1}{2}\left(-x\cos 2x+\frac{1}{2}\cdot \sin 2x\;dx \right )+c$

Esercizio 2.c.

$\int \frac{\ln 5x}{x}\;dx$

Risolviamo l’integrale per sostituzione ponendo $5x=t$ deriviamo ambo i membri ottenendo: $5\;dx=dt$ dalla prima posizione fatta ricavo la $x=\frac{1}{5}t$ per cui sostituendo avremo:

$\int \frac{\ln t}{\frac{1}{5}t}\cdot \frac{1}{5}\;dt$

$\int \frac{\ln t}{t}\cdot \cancel5\cdot \frac{1}{\cancel5}\;dt$

Risolviamo l’integrale ottenuto ancora per sostituzione ponendo $\ln t=u$ deriviamo ambo i membri ottenendo: $\frac{1}{t}\;dt=du$ per cui sostituendo avremo:

$\int u\;du= \frac{u^2}{2}+c$

Sostituendo la posizione fatta per la ‘u’ avremo:

$\frac{\ln^2 t}{2}+c$

Sostituendo la posizione fatta per la ‘t’ avremo:

$\frac{\ln^2 5x}{2}+c$

skuolablog Maggio 1, 2023 Analisi, Integrali Analisi, Matematica, Senza categoria No Comments »

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Simulazione della prova di matematica dell’esame di stato per il liceo scientifico – Zanichelli 2018 – Quesito 2

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