Le potenze dei numeri naturali

DEFINIZIONE:

Ci sono particolari moltiplicazioni nelle quali tutti i fattori sono uguali come ad esempio 2·2·2·2·2·2·2
Per evitare scritture cosi lunghe è stata introdotta una nuova operazione, la potenza: 2·2·2·2·2·2·2 si scrive 2⁷ (si legge 2 alla settima).
Il numero 2 è la base e il numero 7 è l’esponente della potenza. La base indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso, l’esponente indica il numero dei fattori uguali. Dunque:

• se l’esponente è > 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base.

E’ ragionevole pensare che l’esponente sia ≥ 2, per avere almeno una moltiplicazione, ossia due fattori. Tuttavia vogliamo dare un significato anche a potenze con esponente 1 o esponente 0.
Per definizione:

• elevando a 0 un numero naturale diverso da 0 si ottiene 1:

a⁰ = 1 se a è diverso da 0;
elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso: a¹ = a
Non viene invece definita la potenza con base ed esponente 0.
0⁰ non ha significato.

RIEPILOGANDO:

Dato un numero naturale a ed un numero naturale n, la potenza n-esima di a è:

• il prodotto di n fattori tutti uguali ad a se n>1, in simboli aⁿ= a · a · a · …… · a , n volte
• 1 se n=0 ed a diverso da 0, in simboli a⁰ = 1
• a se n=1, in simboli a¹ = a

La potenza n-esima si scrive aⁿ e si legge “a elevato ad n”:

• il numero a si chiama base della potenza
• il numero n si chiama esponente della potenza
• 0⁰ non ha significato

Esempi:

Proprietà delle potenze:

1. Il prodotto di due potenze di ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
   a^m · aⁿ = a^m+n
2. Il quoziente di due potenze di ugual base, diversa da zero, e la prima con esponente maggiore o uguale a quello della seconda, è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:
   a^m : aⁿ = a^m-n
3. La potenza di una potenza è una potenza ha per base la base della potenza stessa e per esponente il prodotto degli esponenti:
   (a^m)ⁿ = a^m·n
4. Il prodotto di due potenze di eguale esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:
   aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ
5. La potenza di un prodotto indicato è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori:
   (a · b · c)ⁿ = aⁿ · bⁿ · cⁿ
6. La potenza di un quoziente indicato è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore:
   (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

L’operazione inversa dell’elevamento a potenza, che ci permette di trovare la base conoscendo la potenza e l’esponente, si chiama estrazione di radice.