L’insieme dei numeri relativi

Finora abbiamo usato solo numeri maggiori di 0. Sappiamo però che ci sono anche numeri minori di 0 e li usiamo tutti i giorni, ad esempio per indicare le temperature molto basse, i debiti e le date storiche prima della nascita di Cristo.

Si dicono numeri relativi tutti i numeri preceduti dal segno (positivo o negativo).

I numeri prima dello 0 si chiamano numeri negativi e sono preceduti dal segno -.

I numeri dopo lo 0 si chiamano numeri positivi e sono preceduti dal segno +.  N.B. Nei numeri relativi positivi è possibile omettere il segno.

Il numero 0 non viene considerato né negativo né positivo.

L’insieme formato dai numeri interi negativi, dai numeri interi positivi e dallo 0 si chiama insieme dei numeri interi relativi si indica con la lettera . Indichiamo con l’insieme dei numeri interi positivi e con quello dei numeri interi negativi.

Il simbolo rappresenta l’insieme dei numeri interi positivi compreso lo 0, quindi da ciò deduciamo che . Possiamo infine osservare che , cioè N è un sottoinsieme di Z e che a sua volta Z è un sottoinsieme dei numeri relativi.

Ricapitolando:

Il valore assoluto (o modulo) di un numero relativo è il numero stesso senza il segno. Il valore assoluto di un numero è sempre, quindi, un numero positivo. Ad esempio:
|+7| = 7 (il valore assoluto di +7 è 7)
|-5| = 5 (il valore assoluto di -5 è 5)

Due numeri relativi si dicono:
– concordi quando hanno lo stesso segno;
– discordi quando hanno segni diversi;
– opposti se sono discordi e hanno lo stesso valore assoluto. In questo caso si capisce facilmente che la loro somma è 0 (zero).
esempi:
+3 e +7 sono concordi positivi
-5 e -13 sono concordi negativi
+15 e -15 sono opposti

Confronto di numeri relativi
– lo zero è maggiore di qualunque numero negativo e minore di qualunque numero positivo;
– ogni numero positivo è maggiore di qualunque numero negativo;
– dati due numeri concordi positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore;
– dati due numeri concordi negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore.
esempi:
0 > -3 (lo zero è maggiore di qualunque numero negativo);
0 < +15 (lo zero è minore di qualunque numero positivo);
+13 > -21 (ogni numero positivo è maggiore di qualunque numero negativo);
+27 > +13 (dati due numeri concordi positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggior);
-3 > -13 (dati due numeri concordi negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore).

Addizione
La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha:
– lo stesso segno degli addendi;
– per valore assoluto la somma dei valori assoluti.
esempio:
(+5)+(+3) = +8
(-11)+(-7) = -18

La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha:
– lo stesso segno dell’addendo con valore assoluto maggiore;
– per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.

La somma di due numeri opposti è 0 (zero)

esempi:
(+8)+(-5) = +3 (in questo caso +8 ha valore assoluto maggiore e quindi si prende il segno +. Facciamo poi la differenza dei moduli 8-5=3 per cui il risultato è +3);
(+5)+(-17) = -12 (in questo caso -17 ha valore assoluto maggiore e quindi si prende il segno –. Facciamo poi la differenza dei moduli 17-5=12 per cui il risultato è -12)
(+7)+(-7)=0 (la somma di due numeri opposti è 0 (zero))
(+15)+(-15)=0 (la somma di due numeri opposti è 0 (zero))

Sottrazione
La differenza di due numeri relativi si ottiene aggiungendo al primo l’opposto del secondo.
esempi:
(+2)-(-3)=(+2)+(+3)=+5
(-8)-(-5)=(-8)+(+5)=-3

Moltiplicazione
Il prodotto tra due numeri relativi è un numero relativo che ha:
– segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi (regola dei segni);
– come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti.

Regola dei segni:
+ x + = + (più per più = più)
– x – = + (meno per meno = più)
+ x – = – (più per meno = meno)
– x + = – (meno per più = meno)

esempi:
(+3)x(+5)=+15 (+ x + = + e 3×5=15 per cui avremo +15)
(-2)x(-6)=-12 (– x – = + e 2×6=12 per cui avremo +12)
(+5)x(-4)=-20 (+ x – = – e 5×4=20 per cui avremo -20)
(-7)x(+3)=-21 (– x + = – e 7×3=21 per cui avremo -21)

Divisione
Il quoziente tra due numeri relativi è un numero relativo che ha:
– segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi (regola dei segni);
– come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti.

esempi:
(+15):(+5)=+3 (+ : + = + e 15:5=3 per cui avremo +3)
(-27):(-3)=+9 (– : – = + e 27:9=3 per cui avremo +9)
(+20):(-5)=-4 (+ : – = – e 20:5=4 per cui avremo -4)
(-49):(+7)=-7 (– : + = – e 49:7=7 per cui avremo -7)

Elevamento a potenza
Per calcolare la potenza di numeri relativi occorre tener conto del fatto che sia l’esponente sia la base possono essere numeri negativi.
– La potenza di un numero relativo con base ed esponente positivo è un numero positivo.
– La potenza di un numero relativo con base negativa è:
— un numero positivo se l’esponente è pari;
— un numero negativo se l’esponente è dispari.
Il valore assoluto della potenza è è uguale alla potenza del valore assoluto della base.

Esempi:
(regola dei segni: + per + = + ;+ per + = + quindi segno +)
(regola dei segni: – per – = + ;+ per – = -; -per – = + quindi segno +)
(regola dei segni: – per – = + ;+ per – = – quindi segno -)

Vediamo ora cosa succede nelcaso in cui l’esponente è negativo. Calcoliamo, per esempio, (+3)⁻². Applicando la proprietà delle potenze avremo:

A parole:
La potenza di un numero elevato a un esponente negativo è uguale al reciproco della potenza del numero dato elevato a esponente positivo.

In simboli:

Esempi:

Bisogna fare attenzione alle parentesi quando ci sono le potenze
in cui la base è un numero negativo. Per esempio (-3)² ≠ -3². 
Quando la potenza è scritta senza le parentesi, infatti, 
l'esponente è riferito solo al valore assoluto del numero.
-3²=-(3·3)=-9, mentre (-3)²=(-3)·(-3)=+9