Espressioni trigonometriche con formule di addizione e sottrazione

Exe 12 pag 800

Semplifica le seguenti espressioni trigonometriche applicando le formule di addizione e sottrazione.

$\sin\left ( \frac{\pi}{3}+x \right )+\cos\left ( \frac{\pi}{6}+x \right )$

Cominciamo con il dire che:

$\frac{\pi}{3}=60^\circ$
$\begin{cases} \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2} \ \cos 60^\circ=\frac{1}{2} \end{cases}” />\\ <h2 id=$

Applicando le formule di addizione del seno ricaviamo che:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin\left ( \frac{\pi}{3}+x \right )=\sin\frac{\pi}{3}\cos x+\cos\frac{\pi}{3}\sin x$

Sostituendo i valori noti avremo:

$\sin\left ( \frac{\pi}{3}+x \right )=\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$

Applicando invece le formule di addizione del coseno ricaviamo che:
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos\left ( \frac{\pi}{6}+x \right )=\cos\frac{\pi}{6}\cos x-\sin\frac{\pi}{6}\sin x$

Sostituendo i valori noti avremo:

$\cos\left ( \frac{\pi}{6}+x \right )=\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$

Sostituendo i risultati ottenuti nell’equazione di partenza avremo:
$\sin\left ( \frac{\pi}{3}+x \right )+\cos\left ( \frac{\pi}{6}+x \right )=$

$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$

Semplificando otteniamo:
$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x$

$2\frac{\sqrt3}{2}\cos x=\sqrt3\cos x$