Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y e passante per i punti A(0;5), B(2;2) e C(6;2)

Es. di Geometria Analitica n.495 pag.335

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y e passante per i punti A(0;5), B(2;2) e C(6;2). Calcola poi l’area del triangolo formato dalla tangente alla parabola passante per A con gli assi cartesiani.[/su_note]
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Consideriamo l’equazione generica della parabola e imponiamo che passi per i tre punti noti (A, B e C) ottenendo un sistema di tre equazioni in tre incognite: a, b, c. Risolvendo il sistema troviamo i coefficienti dell’equazione della parabola.
$y=ax^2+bx+c$

Sostituendo i punti avremo:

$\begin{cases} 5=c \\ 4a+2b+c=2 \\ 36a+6b+c=2\end{cases}$

applicando il metodo della sostituzione sostituiamo c=5 nelle equazioni 2 e 3 del sistema ottenendo:

$\begin{cases} 5=c \\ 4a+2b+5=2 \\ 36a+6b+5=2\end{cases}$

Calcoliamo b dalla seconda equazione e sostituiamolo nella terza equazione:

$\begin{cases} c=5 \\\displaystyle b=\frac{-4a-3}{2} \\ 36a+6b+5=2\end{cases}$

$\begin{cases} c=5 \\\displaystyle b=\frac{-4a-3}{2} \\\displaystyle 36a+\cancel{6}^3 \left(\frac{-4a-3}{\cancel{2}^1}\right)+5=2\end{cases}$

Quindi la terza equazione del sistema sarà:

$\begin{cases} c=5\\ b=\frac{-4a-3}{2}\\ 36a-12a-9=-3\end{cases}$

$36a-12a=9-3 \\ 24a=6 \\ a=\frac{1}{4}$

Sostituiamo la a appena trovata nella seconda equazione del sistema e calcoliamo la b:

$b=\frac{-4a-3}{2}\\ b=\frac{-4\cdot \displaystyle \frac{1}{4}-3}{2}\\ b=\frac{-1-3}{2}=-2$

Per cui i valori dei coefficienti della parabola sono:

$\begin{case}a=\frac{1}{4}\\b=-2\\c=5\end{case}$

Scriviamo l’equazione della parabola:

$y=\frac{1}{4}x^2-2x+5$

Calcoliamo le coordinate del vertice della parabola:

$\begin{cases}V_x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot \frac{1}{4}}=4\\ V_y=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{4-5}{1}=1\end{cases}$

Disegniamo il grafico della parabola:

Scriviamo ora l’equazione del fascio di rette passante per A(0;5)

$y-y_P=m(x-x_P)\\ y-5=m(x-0)\\ y=mx+5$

Mettiamo a sistema l’equazione della retta appena trovata e l’equazione della parabola

$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-2x+5\\ y=mx+5 \end{cases}$

Applicando il metodo del confronto per la risoluzione dei sistemi avremo:

$\frac{1}{4}x^2-2x+\cancel{5}=mx+\cancel{5}$

$\frac{1}{4}x^2-2x-mx=0$

$\frac{1}{4}x^2+(-2-m)x=0$

Calcoliamo il Delta:

$\Delta=b^2-4ac$

$(-2-m)^2-0$

m²+4m+4

Affinché la retta sia tangente alla parabola dobbiamo imporre il Δ=0, calcolare il coefficiente angolare m e sostituirlo nell’equazione della retta

$m^2+4m+4=0$

$m_{1/2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$m_{1/2}=\frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2}=-2$

Quindi l’equazione della retta passante per il punto A(0;5) e tangente alla parabola è:

y=-2x+5

Vediamo ora deve la retta incontra l’asse delle x imponendo y=0

$-2x+5=0\\ x=\frac{5}{2}$

Dal grafico abbiamo che il triangolo rettangolo AOB formato dalla retta tangente alla parabola nel punto A ha il cateto maggiore OA=5 e il cateto minore OB=5/2 per cui l’area del rettangolo è:

$Area=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{5\cdot \frac{5}{2}}{2}=\frac{25}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{4}$

skuolablog Febbraio 26, 2021 G.A. Parabola, Geometria Analitica Geometria Analitica No Comments »

Determina l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che passa per il punto A(4;0) e l’origine O

Date le parabole di equazione y=x²-4x+4 e y=1/9x²+4/3x+4, determina le equazioni delle rette t ed s tangenti nel punto delle parabole di ascissa x=0

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