Scrivi le equazioni delle tangenti

Es.149 pag.275

Scrivi le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x²+y²+8x-6y=0 nei suoi punti di intersezione con l’asse y

Trovo le coordinate del centro C ed il raggio r:

$C=$-\frac{a}{2}\;;\;\;-\frac{b}{2}$$

$C=$-\frac{a}{-8}\;;\;\;-\frac{-6}{2}$$

$C=$-4\;;\;\; 3$$

Raggio della circonferenza
$r=\sqrt{$-\frac{a}{2}$^2+$-\frac{b}{2}$^2-c}$

$r=\sqrt{(-4)^2+(3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Ora calcolo i punti di intersezione tra la circonferenza e l’asse y (x=0) mettendo a sistema la circonferenza e l’asse y
$\begin{cases}x^2+y^2+8x-6y=0 \\x=0\end{cases}$ sostituiamo nella 1^ equazione x=0

$\begin{cases}y^2-6y=0 \\x=0\end{cases}$

$\begin{cases}y(y-6)=0 \\x=0\end{cases}$

$\begin{cases}y_1=0 \\x=0\end{cases}$ $\begin{cases}y_2=0 \\x=0\end{cases}$
Quindi la circonferenza interseca l’asse y nel punto O(0; 0) e A(0; 6)

Scrivo l’equazione della retta CO=r
$\frac{y-y_C}{y_O-y_C}=\frac{x-x_C}{x_O-x_C}$

$\frac{y-3}{0-3}=\frac{x+4}{0+4}$

$\frac{3-y}{3}=\frac{x+4}{4}$ moltiplico ambo i membri per 12 (mcm)

$12\frac{3-y}{3}=12\frac{x+4}{4}$

$4(3-y)=3(x+4)$

$12-4y=3x+12$

$3x+4y=0$

Calcolo il coefficiente angolare
$m=-\frac{a}{b}\Rightarrow -\frac{3}{4}$

Calcolo m’ coefficiente angolare della retta perpendicolare a CO che risulta essere l’antireciproco di m
$m'=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{-\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Scrivo ora l’equazione della retta perpendicolare a CO e passante per il punto O(0; 0):
$y-y_o=m(x-x_o)$

$y-0=\frac{4}{3}(x-0)$

$y=\frac{4}{3}x\Rightarrow 4x-3y=0$

Allo stesso modo scrivo l’equazione della retta passante per CA=r
$\frac{y-y_C}{y_A-y_C}=\frac{x-x_C}{x_A-x_C}$

$\frac{y-3}{6-3}=\frac{x+4}{0+4}$

$\frac{y-3}{3}=\frac{x+4}{4}$ moltiplico ambo i membri per 12 (mcm)

$12\frac{y-3}{3}=12\frac{x+4}{4}$

$4(y-3)=3(x+4)$

$4y-12=3x+12$

$3x-4y+24=0$

Calcolo il coefficiente angolare
$m=-\frac{a}{b}=-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4}$

Calcolo m’ coefficiente angolare della retta perpendicolare a CA che risulta essere l’antireciproco di m
$m'=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$