Fascio generato dalle rette di equazioni 3x+y-1=0 e x+2y+3=0

Es.522 pag.231

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle rette di equazioni 3x+y-1=0 e x+2y+3=0 stabilisci se è proprio o improprio e individua l’equazione della retta del fascio passa per P(4; 1).

Per prima cosa controlliamo che le due rette non sono parallele cioè m ≠ m’
   quindi le due rette non sono parallele e pertanto si intersecano in un punto C che è il centro del fascio proprio di rette.
Mettiamo a sistema le due rette e troviamo il punto C:

  moltiplico ambo i membri della 2^ equazione per –3 ottenendo:

  sottraendo membro a membro la prima dalla seconda avrò:
–5y–10=0 da cui y=–2 che sostituito nella 1^ equazione mi da:

3x–2-1=0 da cui x=1 per cui il fascio di rette è un fascio proprio di centro C(1; –2)

scriviamo ora l’equazione del fascio generato dalle due rette combinandole linearmente:
3x+y–1+k(x+2y+3)=0

3x+y–1+kx+2ky+3k=0  raccogliamo  x ed y

(k+3)x+(2k+1)y+3k–1=0

Per determinare l’equazione della retta del fascio di centro C che passa per P, sostituiamo alla x ed y nell’equazione del fascio le coordinate di P(4; 1):
(k+3)4+(2k+1)+3k–1=0  calcoliamo  k

4k+12+2k+1+3k–1=0

9k+12=0 da cui   sostituendo k nell’equazione lineare:

  moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per 3

  dividiamo ambo i membri per 5