Esercizi (punto equidistante)

Es. 41 pag.192

Determina il punto P sull’asse x equidistante da A(-5;5) e da B(0;2)

Siccome il punto P si trova sull’ asse x la sua ordinata (y) sarà sicuramente uguale a ZERO, quindi poniamo il punto P con le seguenti coordinate P (x ; 0). Ora siccome il punto P deve essere equidistante dai punti A e B dobbiamo imporre che PA = PB !!! Troviamo a questo punto le distanze:

$PA = \sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}$

$PA = \sqrt{(x+5)^2+(0-5)^2}$

$PA = \sqrt{x^2+10x+25+25}$

$PA = \sqrt{x^2+10x+50}$

$PB = \sqrt{(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2}$

$PB = \sqrt{(x-0)^2+(0-2)^2}$

$PB = \sqrt{x^2+4}$

ora sapendo che PA = PB si ha :

$\sqrt{x^2+10x+50}= \sqrt{x^2+4}$

elevando ambo i membri al quadrato avremo:

$(\sqrt{x^2+10x+50})^2= (\sqrt{x^2+4})^2$

$x^2+10x+50= x^2+4$

$+10x+50=+4$

$+10x=-50+4$

$+10x=-46$

$x=-\frac{46}{10}=-\frac{23}{5}$

dunque il punto P equidistante dai punti A e B avrà le seguenti coordinate $P(-\frac{23}{5};\;\;\;\;0)$

Es.42 pag.194

Individua il punto P che ha ordinata uguale all’ascissa ed è equidistante da A(-2;2) e B(5;4)

Allora consideriamo i tre punti A(-2, 2), B(5; 4) e P(Xp,Yp) con Xp=Yp=x per cui avremo P(x;x). Troviamo AP e poi BP; poniamo AP = BP e calcoliamo l’incognita x che rappresenta entrambe le coordinate di P.