Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x²+y²-6x-4y+9=0 condotte dal punto P(9; 0)

Es. n. 183 pag. 393

Scriviamo l’equazione della retta passante per P(9; 0) e coefficiente angolare m generico:

Mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza con l’equazione generica della retta appena trovata:

$\begin{cases} \displaystyle x^2+y^2-6x-4y+9=0 \\\displaystyle y=mx-9m\end{cases}$

Sostituiamo la y dalla 2^ equazione della retta generica nella 1^ equazione quella della circonferenza:

$x^2+(mx-9m)^2-6x-4(mx-9m)+9=0$

$x^2+m^2x^2-18m^2x+81m^2-6x-4mx+36m+9=0$

$(1-m^2)x^2+(-18m^2-2m-3)x+(81m^2+36m+9)=0$

$(1-m^2)x^2+2(-9m^2-4m-6)x+(81m^2+36m+9)=0$

Calcoliamo il Δ/4:

$\frac{\Delta}{4}=\left (\frac{b}{2} \right )^2-ac=0$

$\frac{\Delta}{4}=\left (\frac{2(-9m^2-4m-6)}{2} \right )^2-(1-m^2)(81m^2+36m+9)=0$

$81m^4+4m^2+9+36m^3+54m^2+12m-81m^2-36m-9-81m^4-36m^3-9m^2=0$

Semplificando avremo:

$-32m^2-24m=0$

Divido ambo i membri per -8 semplificando e cambiando di segno:

$4m^2+3m=0$

$m(4m+3)=0$

per la legge dell’annullamento del prodotto avremo:

$y=-\frac{3}{4}(x-9)$

$\frac{3}{4}x+y-\frac{27}{4}=0$

Moltiplico ambo i membri per 4 ottenendo:

$3x+4y-27=0$