Prodotti notevoli, quadrati e cubi, triangolo di tartaglia.

In algebra si chiamano prodotti notevoli alcuni particolari prodotti.

1) Prodotto di una somma di monomi per la loro dofferenza.

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine. Sintetizzando: prodotto di una somma per una differenza = differenza di due quadrati:

Vogliamoa calcolare:

$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-ab+ab-b^2$

e riducendo i termini simili avremo che:

$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

Esempio:

$(3x+2y)\cdot(3x-2y)=9x^2-4y^2$

2) Quadrato di un binomio.

Il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica dei quadrati dei due monomi e del doppio prodotti di questi monomi. Sintetizzando: quadrato di un binomio = quadrato del primo + quadrato del secondo + doppio prodotto del primo per il secondo:

Vogliamo calcolare:

$(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)=\\ a^2+ab+ab-b^2$

e riducendo i termini simili avremo che:

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

Analogamente avremo:

$(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)=\\ a^2-ab-ab-b^2$

e riducendo i termini simili avremo che:

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

Esempio:

$(3a+2b)^2=9a^2+4b^2+12ab$

$(3a-\frac{1}{2}b)^2=9a^2+\frac{1}{4}b^2+3ab$

3) Quadrato di un polinomio.

Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma algebrica dei quadrati dei suoi termini e dei doppi prodotti di ogni termine per i successivi. Sintetizzando ad esempio per un trinomio avremo: quadrato di un trinomio = quadrato del primo + quadrato del secondo + quadrato del terzo + doppio prodotto del primo per il secondo + doppio prodotto del primo per il terzo + doppio prodotto del secondo per il terzo:

Vogliamo calcolare:

$(a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2=\\ (a+b)^2+c^2+2(a+b)c=\\ =a^2+b^2+2ab+c^2+2ac+2bc$

per cui avremo infine:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

IMPORTANTE: la precedente regola è valida anche nel caso di un polinomio di qualunque numero di termini:

Esempio:

$(a+b+c+d)^2=[(a+b)+(c+d)]^2=\\ (a+b)^2+(c+d)^2+2(a+b)(c+d)=\\ =a^2+b^2+2ab+c^2+d^2+2cd+2ac+2ad+2bc+2bd$

per cui avremo infine:

$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$

Esempio con un trinomio:

$(3a+2b-2)^2=9a^2+4b^2+4+12ab-12a-8b$

Esempio con un quadrinomio:

$(-\frac{2}{3}a^2+\frac{3}{4}b-c+2)^2=$

$=\frac{4}{9}a^4+\frac{9}{16}b^2+c^2+4-a^2b+\frac{4}{3}a^2c-\frac{8}{3}a^2-\frac{3}{2}bc-4c$

4) Cubo di un binomio.

Il cubo di un binomio è uguale alla somma algebrica dei cubi dei suoi termini e dei tripli prodotti dei quadrati di ogni termine per l’altro termine. Sintetizzando: cubo di un binomio = cubo del primo + cubo del secondo + triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo + triplo prodotto del quadrato del secondo per il primo:

Vogliamo calcolare:

$(a+b)^3=(a+b)^2\cdot (a+b)=\\ (a^2+b^2+2ab)\cdot (a+b)=\\ =a^3+ab^2+2a^2b+a^2b+b^3+2ab^2$

per cui avremo infine:

$(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2$

Esempio:

$(2a-b)^3=(2a)^3+(-b)^3+3(2a)^2\cdot (-b)+3(-b)^2\cdot 2a=\\ 8a^3-b^3-12a^2b+6b^2a$

per cui avremo infine:

$(2a-b)^3=8a^3-b^3-12a^2b+6b^2a$

5) Cubo di un trinomio.

Il cubo di un trinomio è uguale alla somma algebrica dei cubi dei suoi monomi e dei tripli prodotti dei quadrati di ogni termine per ciascuno dei rimanenti e del sestuplo del prodotto dei tre monomi. Sintetizzando: cubo di un binomio = cubo del primo + cubo del secondo + triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo + triplo prodotto del quadrato del secondo per il primo:

Vogliamo calcolare:

$(a+b+c)^3=[(a+b) +c]^3$

Per cui ricordando la regola del cubo di un binomio possiamo scrivere:

$(a+b+c)^3=(a+b)^3+c^3+3(a+b)^2\cdot c+3c^2(a+b)=\\ =a^3+b^3+3a^2b+3ab^2+c^3+3c(a^2+b^2+2ab)+3ac^2+3bc^2=\\ =a^3+b^3+3a^2b+3ab^2+c^3+3a^2c+3b^2c+6abc+3ac^2+3bc^2=$

per cui avremo infine:

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc$

Esempio:

$(3a-b)^3=(2a)^3+(-b)^3+3(2a)^2\cdot (-b)+3(-b)^2\cdot 2a=\\ 8a^3-b^3-12a^2b+6b^2a$

per cui avremo infine:

$(2a-b-2)^3=27a^3-b^3-8-54a^2-27a^2b+9ab^2-6b^2+36a-12b+36ab$

6) Somma di due cubi:

$a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2+b^2-ab)$

7) Differenza di due cubi:

$a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+b^2+ab)$

8) Potenza di un binomio:

Regola: lo sviluppo di $(a+b)^n$ è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti estremi sono uguali a 1, il secondo coefficiente è n, ogni altro coefficiente è uguale a quello del termine precedente moltiplicato per l’esponente di a in tale termine, e diviso per l’esponente di b aumentato di 1.

Triangolo di Tartaglia

Il Triangolo di Tartaglia (chiamato Triangolo di Pascal nei paesi anglosassoni ed in Francia) fornisce i coefficienti per risolvere lo sviluppo della potenza di un binomio fino all’N-esima potenza.
Se per esempio si volesse sviluppare la potenza $(a + b)^5$ , bisognerà usare la sesta riga partendo dall’alto in quanto la prima è da utilizzare per $(a + b)^0$ , la seconda per $(a + b)^1$ e così via ….. fino ad arrivare alla sesta riga relativa a $(a + b)^5$ dove avremo i coefficienti : 1 5 10 10 5 1

La costruzione del Triangolo di Tartaglia è abbastanza semplice se si considera che ogni elemento di una riga è la somma di due elementi della riga precedente. Costruiamo, per esempio l’ottava riga che corrisponde ai coefficienti di $(a + b)^7$ . Partiamo dalla settima riga:

1 6 15 20 15 6 1

L’ottava riga sarà:

1 (1+6) (6+15) (15+20) (20+15) (15+6) (6+1) 1

Cioè:

1 7 21 35 35 21 7 1

Di seguito si riportano le potenze di un binomio da n=0 a n=6 utilizzando i coefficienti forniti dal triangolo di Tartaglia:

$(a + b)^0=1$

$(a + b)^1=a+b$

$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a + b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a + b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

$(a + b)^5=a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

$(a + b)^6=a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 +6ab^5+ b^6$

Problema di geometria 2

Subordinate esplicite e implicite

L	M	M	G	V	S	D
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

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