Rapporti e proporzioni

Il rapporto

Dati due numeri a e b (con b ≠ 0) si chiama rapporto fra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo:  a : b

Possiamo scrivere il rapporto sotto diverse forme:

• divisione 8 : 5 (rapporto “8 a 5”)
• frazione 8/5 (rapporto “otto quinti”)
• numero decimale 1,6 (rapporto 1,6 dato dal quoziente della divisione 8:5)

Nomenclatura del rapporto

Impariamo la nomenclatura di un rapporto a : b o a/b

• i due numeri a e b si chiamano termini del rapporto
• il primo numero a si chiama antecedente
• il secondo numero b si chiama conseguente

Segue  nomenclatura del rapporto

Consideriamo il rapporto 4 : 5 il cui valore è 0,8; osserviamo che scambiando tra loro i termini otteniamo un altro rapporto 5 : 4 che vale 1,25.

• 4 : 5 si chiama rapporto diretto
• 5 : 4 si chiama rapporto inverso

Imp.: Rapporto diretto e rapporto inverso sono tali che il loro prodotto è uguale a 1

Rapporto fra grandezze omogenee

Il rapporto fra due grandezze omogenee è il quoziente fra le loro misure (riferite alla stessa unità di misura) ed è un numero puro appartenente all’insieme dei numeri reali assoluti (naturale, razionale e irrazionale)

Grandezze commensurabili ed incommensurabili

Grandezze tali che il loro rapporto sia un numero naturale o razionale si dicono commensurabili (ammettono cioè un sottomultiplo)

Grandezze tali che il loro rapporto sia un numero irrazionale si dicono incommensurabili (non ammettono cioè un sottomultiplo)

Rapporto fra grandezze non omogenee

Il rapporto fra due grandezze non omogenee è il quoziente fra le loro misure ed è un’altra grandezza (grandezza derivata) non omogenea a quelle date il cui valore dipende dalle unità di misura delle grandezze date.

Es.: consideriamo la distanza percorsa da un’automobilista 270 km ed il tempo impiegato a percorrerla 3 ore. Se facciamo il rapporto:

distanza : tempo è 270 km : 3 ore = 90 km/h

otteniamo un’altra grandezza, la velocità media, che dipende dalle unità di misura della distanza e del tempo impiegato.

Scala di Riduzione

La scala di riduzione di una carta è il rapporto fra la misura di una distanza sulla carta e la misura della stessa distanza nella realtà (sulla superfice terrestre). Essa quindi indica quante volte la distanza reale è stata ridotta sulla carta.

Le proporzioni

Una proporzione è l’uguaglianza di due rapporti

20 : 5 = 32 : 8 (venti sta a cinque come trentadue sta a otto)

• i quattro numeri 20, 5, 32 e 8 sono i termini della proporzione;
• il 1° e il 3° numero 20 e 32, sono gli antecedenti
• il 2° e il 4° numero 5 e 8, sono i conseguenti
• il 1° e il 4° numero 20 e 8, sono gli estremi
• il 2° e il 3° numero 5 e 32, sono i medi
• il 4° numero, 8, è il quarto proporzionale

Medio proporzionale

Consideriamo i quattro numeri 27, 9, 9, 3; essi sono tali che 27:9=3 e 9:3=3 per cui possiamo scrivere la proporzione:

27 : 9 = 9 : 3

In essa, i medi sono uguali; una proporzione di questo tipo, avente i medi (o gli estremi) uguali, si dice continua. Il numero 9  prende il nome di medio proporzionale e il numero 3 prende il nome di terzo proporzionale.

Proprietà fondamentale

In ogni proporzione il prodotto degli estremi è sempre uguale al prodotto dei medi. a:b=c:d avremo a∙d=b∙c

Proprietà dell’invertire

Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione. Quindi se è vera a : b = c : d è vera anche b : a = d : c

Proprietà del permutare

Se in una proporzione si scambiano tra loro gli estremi o i medi o entrambi, si ottengono ancora altre proporzioni.

Se è vera  a : b = c : d sono vere anche d : b = c : a;   a : c = b : d e    d : c = b : a

Proprietà del comporre

In ogni proporzione la somma del 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la somma del 3° e del 4° termine sta al 3° o al 4° termine.

Se è vera a : b = c : d sono vere anche (a+b):a=(c+d):c e (a+b):b=(c+d):d

Proprietà dello scomporre

In ogni proporzione (con gli antecedenti maggiori dei rispottivi conseguenti) la differenza del 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la differenza del 3° e del 4° termine sta al 3° o al 4° termine. Se è vera a : b = c : d (con a > b e c > d) sono vere anche (a-b):a=(c-d):c e (a-b):b=(c-d):d

Calcolo di un estremo o di un medio conoscendo gli altri tre termini

In una proporzione il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l’estremo che si conosce.

In una proporzione il valore di un medio incognito è dato dal prodotto degli estremi diviso il medio che si conosce.

Es.: 54 : 6 = 108 : x è x=(108∙6)/54 = 648/54 = 12

Calcolo del medio proporzionale in una proporzione continua

In una proporzione continua il valore del medio proporzionale è dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi.

169 : x = x : 4

Catena di rapporti

In una catena di rapporti la soma degli antecedenti sta alla soma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente

3:2=6:4=12:8=18:12 avremo:

(3+6+12+18) : (2+4+8+12) = 3 : 2 → 39 : 26 = 3 : 2

(3+6+12+18) : (2+4+8+12) = 6 : 4 → 39 : 26 = 6 : 4

(3+6+12+18) : (2+4+8+12)=12:8 → 39:26=12:8

(3+6+12+18) : (2+4+8+12) = 18 : 12 → 39 : 26 = 18 : 12