Problema del tre composto

 

Altra applicazione pratica della proporzionalità si ha nei problemi del tre composto. Per spiegare questo tipo di problema, partiamo dal seguente esempio:

Esempio 1

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Per costruire le fondamenta di una villa 18 operai lavorano 10 giorni per 8 ore al giorno. Quanti giorni impiegheranno 20 operai che lavorano 6 ore al giorno per effettuare un analogo lavoro?[/su_note]

Risoluzione:

la prima cosa da fare è realizzare uno schema come quello seguente:

n. operai

h lavorative

n. giorni

18

8

10

20

6

x

     

Inv.

Inv.

 

ora chiediamoci:

  • al raddoppiare del numero degli operai come si comporterà il numero dei giorni lavorativi? Naturalmente dimezzeranno quindi n. giorni e n. operai sono inversamente proporzionali quindi per n. operai freccia verso il basso;
  • al raddoppiare delle ore lavorative giornaliere come si comporterà il numero dei giorni lavorativi? Naturalmente anche in questo caso dimezzeranno quindi n. giorni e n. ore lavorative al giorno sono inversamente proporzionali quindi anche per h lavorative freccia verso il basso

per cui, seguendo il verso delle frecce, scriveremo:

{x}=\frac{18}{20}\cdot\frac{8}{6}\cdot{10}={12}

Notiamo che un tale problema (del tre composto) equivale a due problemi del tre semplice: tutti e due inversi.
Infatti, il problema si poteva risolvere anche nel seguente modo. Osservato che il numero di giorni richiesti dipende sia dal numero di operai impiegati che dal numero di ore lavorative giornaliere, manteniamo costante il numero di operai, cioè risolviamo preliminarmente il problema:

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Se 18 operai lavorando 8 h al giorni impiegano 10 giorni, mantenendo costante il numero delle ore lavorative giornaliere (sempre 8 h al giorno) quanti giorni impiegheranno 20 operai a realizzare lo stesso lavoro?[/su_note]

Si tratta di un problema del tre semplice inverso: aumentando il numero degli operai, lasciando invariato il numero di ore lavorative giornaliere (8 h al giorno), diminuisce il numero di giorni necessari per scavare le fondamenta.

n. operai

n. giorni

 

18

10

 

20

x

 

Inv.

   

 

   

Per cui avremo x : 10 = 18 : 20 da cui

{x}=\frac{{10}\cdot{18}}{20}={9}\mbox{ giorni}

Ora manteniamo costante il numero di operai (cioè 20)

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Se 20 operai impiegano 9 giorni per scavare le fondamenta lavorando 8 h al giorno quanti giorni impiegheranno gli stessi operai (n. 20 operai) a realizzare lo stesso lavoro lavorando però per 6 h al giorno?[/su_note]

n. ore giornaliere

n. giorni

 

8

9

 

6

x

 

Inv.

   
     

Anche questo è un problema del tre semplice inverso: diminuendo il numero di ore giornaliere di lavoro, lasciando invariato il numero degli operai (n. 20), aumenta il numero di giorni necessari per scavare le fondamenta; per cui possiamo scrivere:

x : 9 = 8 : 6   da cui

{x}=\frac{{9}\cdot{8}}{6}={12}\mbox{ giorni}

Esercizi per Margherita

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]n. 36: Per pitturare le pareti di 5 stanze sono serviti 20 barattoli di colore da 2,5 kg ciascuno. Quanti barattoli da 10 kg serviranno per pitturare le pareti di 18 stanze uguali?[/su_note]

Risoluzione:

la prima cosa da fare è realizzare uno schema come quello seguente:

n. stanze

peso barattolo

n. barattoli

5

2,5 kg

20

18

10 kg

x (incognita)

     

Dir. 

Inv.

 

ora chiediamoci:

Importante: le domande da farsi sono sempre rispetto all’incognita da trovare:

  • se aumento le stanze da pitturare aumenta il n. di barattoli che mi servono? naturalmente SI, mi serviranno più barattoli. Stanze e barattoli sono direttamente proporzionali. Freccia verso l’alto.
  • se aumento il peso del barattolo (cioè all’interno c’è più pittura) i barattoli aumentano? NO!!! diminuiscono (se sono più grandi dentro c’è più pittura e perciò ne servono di meno). Quindi peso barattolo e n. barattoli sono inversamente proporzionali (se uno aumenta l’altro diminuisce). Freccia verso il basso.

Ora scriviano la proporzione seguendo le frecce:
dal 18 al 5 e dal 2,5 al 10 quindi possiamo scrivere:
\frac{18}{5}\cdot \frac{2,5}{10}\cdot 20=18\;\; \mbox{barattoli}.

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]n. 37: In un’azienda 27 macchinari producono in 5 giorni 2700 kg di shampoo. Per ottenere 3700 kg dello stesso shampoo in soli 4 giorni quanti macchinari in più bisognerebbe utilizzare?[/su_note]

Risoluzione:

la prima cosa da fare è realizzare uno schema come quello seguente:

kg shampoo

n. giorni

n. macchinari

2700 kg

5

27

3600 kg

4

x (incognita)

     

Dir. 

Inv.

 

ora chiediamoci:

Importante: le domande da farsi sono sempre rispetto all’incognita da trovare:

  • se aumento i kg di shampoo da produrre aumenterà il n. di macchinari che mi servono? naturalmente SI, mi serviranno più macchinari per produrre più shampoo (sempre in 5 giorni). kg di shampoo e macchinari sono direttamente proporzionali (se aumenta uno aumenta anche l’altro). Freccia verso l’alto.
  • se aumento il n. di giorni di produzione (e lasci invariato i kg da produrre) il numero di macchinari aumenteranno? NO!!! diminuiscono (se ho più giorni per produrre gli stessi kg di shampoo mi serviranno meno macchinari). Quindi n.giorni e n. macchinari  sono inversamente proporzionali (se uno aumenta l’altro diminuisce). Freccia verso il basso.

Ora scriviano la proporzione seguendo le frecce:
dal 3600 a 2700 e dal 5 al 4 quindi possiamo scrivere:
\frac{3600}{2700}\cdot \frac{5}{4}\cdot 27=45\;\; \mbox{macchinari}.

Quindi dovremmo utilizzare 45-27=18 macchinari in più.

Visto che non è difficile?
Prosegui tu.

6 Commentsto Problema del tre composto

  1. Valentina ha detto:

    In una sartoria lavorano 42 operai per 40 ore settimanali. Se le ore settimanali venissero ridotte a 35, quanti operai bisognerebbe assumere per mantenere la stessa produzione?

    • skuolablog ha detto:

      Allora procediamo come segue facendo il solito schemino, 42 operai lavorano per 40 ore; se riduciamo le ore a 35, quanti operai dovremmo avere in più per ottenere lo stesso risultato? Lo schema è il seguente:

      operai—-ore
      42———40
      x———–35
      ————-↓

      Ora chiediamoci (ricordare che le domande vanno poste sempre relativamente all’incognita): al diminuire delle ore, lasciando invariata la produzione, gli operai diminuiscono? Naturalmente no, gli operai aumentano quindi le ore sono inversamente proporzionali al numero degli operai e la freccia va rivolta verso il basso.
      Ora seguendo il verso delle frecce possiamo scrivere:

      x=40:35*42=48 operai

      Quindi gli operai per ottenere lo stesso risultato in 35 ore dovranno passare da 42 a 48 con un aumento di 6 unità.

  2. Andy ha detto:

    thread molto chiaro e proficuo. Grazie

  3. Cesare Mazzei ha detto:

    Tre operai devono eseguire un lavoro. Il primo da solo lo farebbe in 12 giorni, il secondo in 18 ed il terzo in 36 giorni. Lavorando insieme, in quanti giorni i tre operai potrebbero eseguire tutto il lavoro?

    • skuolablog ha detto:

      Il 1° operaio in 1 giorno fa 1/12 del lavoro; il 2° operaio in 1 giorno fa 1/18 del lavoro e il 3° operaio in 1 giorno fa 1/36 del lavoro.
      La domanda è quanti giorni impiegano insieme a completare il lavoro?
      Per noi il lavoro in questo caso è l’intero vale cioè 1 quindi impostiamo la seguente equazione:
      x·(1/12+1/18+1/36)=1 con x uguale al numero di giorni occorrenti, per cui avremo:
      x·[(3+2+1)/36]=1
      x·(1/6)=1 moltiplico ambo i membri per 6 ottenendo:
      x=6
      quindi i 3 operai lavorando insieme impiegano 6 giorni a compiere il lavoro.

      Lo stesso risultato lo avremmo ottenuto facendo il MCD (massimo comune divisore) dei tre numeri di giorni:

      Scomposizione in fattori primi:
      12=3·2²
      18=2·3²
      36=2²·3²
      Quindi il MCD è 2·3=6 (fattori comuni con il minimo esponente) che rappresenta il numero di giorni che impiegherebbero i tre operai a fare il lavoro se lavorassero insieme.

      Spero di esserti stato di aiuto.

      Un saluto.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

error: Contenuto protetto !!