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set 122012
 

DEFINIZIONE:

Ci sono particolari moltiplicazioni nelle quali tutti i fattori sono uguali come ad esempio 2·2·2·2·2·2·2
Per evitare scritture cosi lunghe è stata introdotta una nuova operazione, la potenza: 2·2·2·2·2·2·2 si scrive 27 (si legge 2 alla settima).
Il numero 2 è la base e il numero 7 è l’esponente della potenza. La base indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso, l’esponente indica il numero dei fattori uguali. Dunque:

  • se l’esponente è > 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base.

 

E’ ragionevole pensare che l’esponente sia ≥ 2, per avere almeno una moltiplicazione, ossia due fattori. Tuttavia vogliamo dare un significato anche a potenze con esponente 1 o esponente 0.
Per definizione:

  • elevando a 0 un numero naturale diverso da 0 si ottiene 1:

a0 = 1 se a è diverso da 0;
elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso: a1 = a
Non viene invece definita la potenza con base ed esponente 0.
00 non ha significato.

RIEPILOGANDO:

Dato un numero naturale a ed un numero naturale n, la potenza n-esima di a è:

  • il prodotto di n fattori tutti uguali ad a se n>1, in simboli an= a · a · a · …… · a , n volte
  • 1 se n=0 ed a diverso da 0, in simboli a0 = 1
  • a se n=1, in simboli a1 = a

La potenza n-esima si scrive an e si legge “a elevato ad n”:

  • il numero a si chiama base della potenza
  • il numero n si chiama esponente della potenza
  • 00 non ha significato

Esempi:

53 = 5 · 5 · 5 = 125 51 = 5 50 = 1 01 = 0

Proprietà delle potenze:

  1. Il prodotto di due potenze di ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
    am · an = am+n
  2. Il quoziente di due potenze di ugual base, diversa da zero, e la prima con esponente maggiore o uguale a quello della seconda, è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:
    am : an = am-n
  3. La potenza di una potenza è una potenza ha per base la base della potenza stessa e per esponente il prodotto degli esponenti:
    (am)n = am·n
  4. Il prodotto di due potenze di eguale esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:
    an · bn = (a · b)n
  5. La potenza di un prodotto indicato è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori:
    (a · b · c)n = an · bn · cn
  6. La potenza di un quoziente indicato è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore:
    (a : b)n = an : bn

L’operazione inversa dell’elevamento a potenza, che ci permette di trovare la base conoscendo la potenza e l’esponente, si chiama estrazione di radice.

 

 

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