[Geometria] In un trapezio isoscele ABCD, gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 45°

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]In un trapezio isoscele ABCD, gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 45°. Sapendo che la base minore del trapezio è congruente ai lati obliqui e che il perimetro è 12+3√2 cm, determina l’area.[/su_note]

fig.1

Consideriamo il trapezio isoscele ABCD (fig.1) dove sappiamo che gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 45° e che la base minore del trapezio è congruente ai lati obliqui cioé DC=AD=BC.
Indichiamo con x la base minore DC quindi anche AD=x e BC=x.
Consideriamo ora il triangolo ADK il quale risulta essere rettangolo isoscele su base AD con angoli alla base di 45° quindi AK=DK. Ma il triangolo rettangolo isoscele ADK risulta essere anche la metà di un quadrato dove AD=x risulta essere la diagonale e AK=DK sono i lati.

Dalla teoria sappiamo che in un quadrato la diagonale è:

Con le formule inverse calcoliamo il lato:

quindi essendo la diagonale del quadrato d=AD=x calcoliamo il lato AK in funzione di x:

Razionalizzando:

Nel nostro caso essendo il triangolo ADK rettangolo isoscele AK=DK ed essendo il triangolo BCH congruente al triangolo ADK per cui avremo che:

fig.2

La base maggiore in funzione di x sarà data da:

Calcoliamo ora il perimetro in funzione della x:

2p=AB+DC+2BC

Conoscendo, dai dati del problema, il valore del perimetro 2p, calcoliamo la x:

Razionalizziamo:

Ora calcoliamo tutto in funzione della x appena trovata:

A questo punto possiamo calcolare l’area del trapezio isoscele: