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dic 022012
 

Allora di seguito riporto alcuni esercizi risolvibili con i criteri di congruenza dei triangoli. Io vi do la mia soluzione, se ci sono errori o altri metodi più speditivi per risolverli (usando sempre i tre criteri di congruenza dei triangoli) vi chiedo di segnalarlo con i vostri commenti.

Esercizio 1

Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Si conducano le bisettrici degli angoli alla base e sia E il loro punto d’incontro. Dimostrare che il triangolo ABE è isoscele.

Allora essendo ABC isoscele avremo che saranno congruenti i lati AC=BC e gli angoli  \hat{A}=\hat{B}. Disegnamo ora le bisettrice degli angoli  \hat{A}=\hat{B} che essendo congruenti daranno origine a quattro angoli congruenti:  C\hat{A} E=C\hat{B} E=E\hat{A} B=E\hat{B} A per cui possiamo affermare che il triangolo ABE è isoscele avendo gli angoli alla base E\hat{A} B=E\hat{B} A pertanto saranno congruenti anche i lati AE=BE.

Esercizio 2

Sui lati congruenti del triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna due segmenti congruenti CE e CF. Congiungi E con B, poi A con F; indica con D il loro punto d’intersezione. Dimostra che anche il triangolo ABD è isoscele.

Allora essendo per ipotesi ABC isoscele avremo che i lati AC=BC e gli e gli angoli  \hat{A}=\hat{B}. Consideriamo ora i due triangoli ACF e BCE questi due triangoli hanno AC=BC per ipotesi CE=CF per costruzione e l’angolo  \hat{C} in comune, risultano uguali per il 1° criterio di congruenza dei triangoli pertanto avranno congruenti tutti gli altri elementi: i lati AF=BE e gli angoli A\hat{F} C=B\hat{E} C e F\hat{A} C=E\hat{B} C.

Consideriamo ora i due triangoli ADE e BDF i quali hanno il lato AE=BF (infatti AC=BC per ipotesi e CE=CF per costruzione quindi AE=BF per differenza di lati uguali: AC-CE=BC-CF), hanno uguali gli angoli  E\hat{A} D=F\hat{B} D (lo abbiamo dimostrato al punto precedente) e anche gli angoli A\hat{E} D=B\hat{F} D in quanto supplementari di angoli uguali (sono supplementari di  B\hat{E} C=A\hat{F} C) pertanto i due triangoli avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti risultano congruenti per il 2° criterio; da ciò ne deriva che sono congruenti anche tutti gli altri elementi in particolare AD=BD.

Pertanto possiamo affermare che il triangolo ABD è isoscele su base AB avendo i lati obliqui AD=BD.

 Esercizio 3

Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C; si prendano sui prolungamenti di AB due punti D ed E tali che AD = BE. Si dimostri che ADC = BEC e AEC = BDC.

  1. Allora esaminiamo i due triangoli ADC e BEC questi hanno AC=BC per costruzione, AD=BE per costruzione e gli angoli D\hat{A}C=E\hat{B}C perchè sono complementari di angoli uguali (degli angoli alla base del triangolo isoscele ABC). Pertanto avendo due lati uguali e l’angolo tra essi compreso uguali risultano congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli; quindi avranno congruenti tutti gli altri elementi: l’angolo A\hat{D}C=B\hat{E}C; l’angolo A\hat{C}D=B\hat{C}E ed il lato DC=EC.
  2. Consideriamo ora i triangoli AEC e BDC si può notare che, per dimostrare la loro congruenza possiamo procedere in due modi:
  • il lato AE=BD per costruzione (sono ambedue somma di lati uguali: AE=AB+BE e BD=BA+AD per cui AB è in comune e AD=BE per costruzione); il lato AC=BC per costruzione (sono lati obliqui del triangolo isoscele ABC) e l’angolo C\hat{A}E=C\hat{B}D per costruzione (sono gli angoli alla base del triangolo isoscele ABC); pertanto i due triangoli avendo due lati e l’angolo tra essi compreso uguale risultano congruenti per il 1° criterio.
  • il lato AE=BD per costruzione (sono ambedue somma di lati uguali: AE=AB+BE e BD=BA+AD per cui AB è in comune e AD=BE per costruzione); l’angolo C\hat{A}E=C\hat{B}D per costruzione (sono gli angoli alla base del triangolo isoscele ABC) e B\hat{D}C=A\hat{E}C (lo abbiamo dimostrato al punto 1. sono angoli uguali dei due triangoli congruenti ADC e BEC); pertanto i due triangoli avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti uguali risultano congruenti per il 2° criterio.

 Esercizio 4

Sui due lati obliqui del triangolo isoscele ABC, di base AB, disegna esternamente al triangolo, i triangoli equilateri BCD e ACE. Congiungi A con D e B con E, indica con F il punto di intersezione dei segmenti ottenuti. Dimostra che:
a) AD  \cong BE  (AD congruente a BE)
b) CF è bisettrice dell’angolo A\hat{C}B

  1.  Sappiamo allora che il triangolo ABC è isoscele e quindi: AC \cong \!\, BC e gli angoli alla base sono uguali cioè C\hat{A}B = C\hat{B}A
  2. Sappiamo inoltre che i due triangoli BDC e AEC sono equilateri per costruzione e quindi avranno i tre lati uguali (che sono uguali a due lati obliqui del triangolo isoscele) per cui: AE=EC=AC=BC=CD=BD e anche gli angoli sono tutti uguali E\hat{A}C=A\hat{C}E=A\hat{E}C=C\hat{B}D=B\hat{C}D=B\hat{D}C=60^{o}
  3. Consideriamo ora i due triangoli ABE e BAD che hanno il lato AE \cong \!\, BD per costruzione; il lato AB in comune e l’angolo E\hat{A}B=D\hat{B}A perchè somma di angoli uguali per cui i due triangoli risultano congruenti per il 1° criterio e pertanto anche il lato AD \cong \!\,  BE e gli angoli A\hat{E}B=A\hat{D}B e A\hat{B}E=B\hat{A}D. Da quest’ultima affermazione ricaviamo che il triangolo AFB su base AB ha gli angoli alla base uguali quindi è isoscele e pertanto sono congruenti i lati obliqui: FA = FB.
  4. Consideriamo ora i due triangoli FCA ed FCB che hanno i lati CA=CB per costruzione, i lati FA = FB (lo abbiamo dimostrato al punto precedente) ed il terzo lato CF in comune, pertanto risultano congruenti per il 3° criterio. Da ciò ricaviamo che sono uguali rispettivamente i tre angoli in particolare A\hat{C}F=B\hat{C}F per cui possiamo affermare che il segmento CF è la bisettrice dell’l'angolo B\hat{C}A in quanto divide tale angolo in due parti uguali.

 

 

  6 Responses to “[Geometria] Criteri di congruenza dei triangoli – Esercizi”

  1. L’ esercizio 4 ha la seconda tesi sbagliata, è CF la bisettrice dell’angolo ACB

    • Riccardo, grazie per la precisazione; è vero ho preso una svista scrivendo la bisettrice dell’angolo. Adesso ho sistemato tutto (almeno spero).

  2. mi serve un aiuto in un problema..

  3. se ABC è un triangolo isoscele di base AB e se M e N sono due punti appartenenti rispettivamente ai lati AC e BC tali che CM=CN allora AN=BM. se ,inoltre, F denota il punto D intersezione di AN con BM allora anche il triangolo ABF è isoscele.

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