Studia il fascio di rette di equazione (k+1)x+(2–3k)y–7+3k=0 e determina

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[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Studia il fascio di rette di equazione (k+1)x+(2–3k)y–7+3k=0 e determina: a. le rette parallele agli assi cartesiani; b. la retta del fascio parallela alla retta y=x-3; c. la retta passante per il punto A(4; 1); d. le rette che hanno distanza dall’origine uguale a $\frac{4}{5}\sqrt{5}$ [/su_note]

Partiamo dall’equazione del fascio:

(k+1)x+(2-3k)y-7+3k=0

essendo il coefficiente angolare del fascio di rette:

$m_F=-\frac{a}{b}=-\frac{k+1}{2-3k}$

dipendente dal parametro k, significa che il fascio di rette è un fascio proprio.

a. sappiamo che la retta parallela all’asse x si ottiene imponendo il coefficiente della x=0 :

k+1=0
k=-1

sostituendo il k appena trovato nell’equazione del fascio avremo:

(1-1)x+(2-3(-1))y-7+3(-1)=0
0+5y-10=0
5y=10
y=2

La retta parallela all’asse y si ottiene imponendo il coefficiente della y=0:

2-3k=0
3k=2
k=2/3

sostituendo il k appena trovato nell’equazione del fascio avremo:

$\left (\frac{2}{3}+1 \right )x+\left (2-3\cdot \frac{2}{3} \right )y-7+3\cdot \frac{2}{3}=0$

$\frac{5}{3}x+0-7+2=0$

$\frac{5}{3}x-5=0$

$x=\cancel{5}^1\cdot \frac{3}{\cancel{5}^1}$

$x=3$

b. abbiamo già calcolato il coefficiente angolare del fascio:

$m_F=-\frac{a}{b}=-\frac{k+1}{2-3k}$

la retta y=x-3 per essere parallela al fascio deve avere il suo stesso coefficiente angolare quindi non ci resta che uguagliare il coefficiente angolare del fascio che avevamo trovato all’inizio dell’esercizio e uguagliarlo al coefficiente angolare della retta data che è m=1. Troviamo il parametro k, lo sostituiamo nell’equazione del fascio e troviamo la retta cercata.

$-\frac{k+1}{2-3k}=1$

$\frac{-k-1}{2-3k}=1$

$-k-1=2-3k$

$2k=3$

$k=\frac{3}{2}$

sostituendo il k appena trovato nell’equazione del fascio avremo:

$\left (\frac{3}{2}+1 \right )x+\left (2-3\cdot \frac{3}{2} \right )y-7+3\cdot \frac{3}{2}=0$

$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=0$

moltiplichiamo ambo i membri per 2/5 ottenendo:

x-y-1=0

c. per ottenere la retta passante per A(4;1) sostituiamo nell’equazione del fascio alla x=4 e alla y=1, in questo modo trovo il parametro k, lo sostituisco nell’equazione del fascio di rette e ottengo l’equazione della retta cercata:

(k+1)4+(2-3k)1-7+3k=0

4k+4+2-3k-7+3k=0

4k-1=0

k=1/4 sostituiamo il k appena trovato nell’equazione del fascio

$\left (\frac{1}{4}+1\right )x+\left (2-3\cdot \frac{1}{4} \right )y-7+3\cdot \frac{1}{4}=0$

$\frac{5}{4}x+\frac{5}{4}y-\frac{25}{4}=0$

moltiplichiamo ambo i membri per 4/5, semplifichiamo ottenendo:

$x+y-5=0$

d. per rispondere alla richiesta del problema dobbiamo calcolare la distanza di una retta (del fascio) dall’origine degli assi O(0; 0) e imporla uguale a

$\frac{4}{5}\sqrt{5}$

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

dove:

$\begin{cases} \displaystyle a=k+1 \\\displaystyle b=2-3k \\\displaystyle c=3k-7 \\\displaystyle x_0=0 \\\displaystyle y_0=0\end{cases}$

Sostituendo avremo:

$d=\frac{|0+0+3k-7|}{\sqrt{(k+1)^2+(2-3k)^2}}$

$d=\frac{|3k-7|}{\sqrt{k^2+2k+1+9k^2-12k+4}}$

$d=\frac{|3k-7|}{\sqrt{10k^2-10k+5}}$

Poniamo tale distanza $d=\frac{4}{5}\sqrt{5}$

$\frac{|3k-7|}{\sqrt{10k^2-10k+5}}=\frac{4}{5}\sqrt{5}$

Moltiplichiamo ambo i membri per il denominatore della prima frazione:

$|3k-7|=\frac{4}{5}\sqrt{5}\cdot \sqrt{10k^2-10k+5}$

Eleviamo al quadrato ambo i membri:

$(3k-7)^2=\left(\frac{4}{5}\sqrt{5}\right )^2\cdot (\sqrt{10k^2-10k+5})^2$

$9k^2-42k+49=\frac{16}{25}\cdot 5\cdot (10k^2-10k+5)$

$9k^2-42k+49=\frac{16}{\cancel{25}^5}\cdot \cancel{5}^1\cdot (10k^2-10k+5)$

Moltiplico ambo i membri per 5

$45k^2-210k+245=160k^2-160k+80$

$115k^2+50k-165=0$

Divido ambo i membri per 5

$23k^2+10k-33=0$

Calcoliamo il delta:

$\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c=\\ =10^2+4\cdot 33\cdot 23=3136$

Calcoliamo ora k1 e k2:

$k1=\displaystyle \frac{-10-\sqrt{3136}}{46}\\ \displaystyle \frac{-10-56}{46}=-\frac{66}{46}=-\frac{33}{23}$

$k2=\displaystyle \frac{-10+\sqrt{3136}}{46}\\ \displaystyle \frac{-10+56}{46}=\frac{46}{46}=1$

Sostituiamo k1 e k2 appena trovati nell’equazione del fascio e otteniamo le due rette cercate:
Per k1=-33/23 avremo:

$\left (-\frac{33}{23}+1 \right )x+\left (2-3\cdot \left(-\frac{33}{23}\right) \right )y-7+3\cdot \left(-\frac{33}{23}\right)=0$

$\frac{-33+23}{23}x+\frac{46+99}{23}y-7-\frac{99}{23}=0$

$\frac{-33+23}{23}x+\frac{46+99}{23}y+\frac{-161-99}{23}=0$

moltiplico ambo i membri per 23 ottenendo:

-10x+145y-260=0, divido ambo i membri per 5 ottenendo:

2x+29y-52=0, moltiplico tutto per -1 cambiando di segno:

2x-29y+52=0

Per k2=1 avremo:

(1+1)x+(2-3)y-7+3=0

2x-y-4=0

Per la soluzione dell’esercizio è stato anche realizzato un video di Arturo la Spada su youTube.

skuolablog Gennaio 21, 2021 G.A. Retta, Geometria Analitica Geometria Analitica 3 Comments »

Scrivi l’equazione del fascio generato dalle rette 2x+y-1=0, 4x+2y+3=0 e trova

[Fisica] Un corpo di massa m=50 kg viene trascinato a velocità costante per una lunghezza l=10 m lungo un piano orizzontale

3 Commentsto Studia il fascio di rette di equazione (k+1)x+(2–3k)y–7+3k=0 e determina

Arturo La Spada ha detto:

07/04/2021 alle 21:57

Se interessa ho fatto un video su questo esercizio: https://www.youtube.com/watch?v=glNKrEvEueE

Rispondi
- skuolablog ha detto:
  
  08/04/2021 alle 10:26
  
  Arturo grazie.
  Ho modificato l’articolo inserendo alla fine il link al tuo video su youtube.
  
  Un caro saluto.
  
  La redazione di Skuolablog.
  
  Rispondi
Anonimo ha detto:

10/11/2021 alle 21:21

Grazie per la risoluzione.

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