Scrivi l’equazione del fascio generato dalle rette 2x+y-1=0, 4x+2y+3=0 e trova

Es.611 pag.256

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Scrivi l’equazione del fascio generato dalle rette 2x+y–1=0, 4x+2y+3=0 e trova: a. l’equazione della retta che passa per il punto P(2; 0); b. l’equazione delle rette che incontrano gli assi in due punti A e B tali che l’area del triangolo AOB sia 1; c. l’equazione della retta perpendicolare alla retta x–3y-1=0.[/su_note]

Scriviamo l’equazione del fascio di rette generato dalle nostre due rette:
2x+y–1+m(4x+2y+3)=0

effettuiamo tutti i calcoli ed esplicitiamo tale equazione rispetto alla y:

2x+y–1+4kx+2ky+3k=0 ora raccogliamo i termini simili in x e y

(2+4k)x+(1+2k)y+3k–1=0 ora portiamo il termine x e il termine noto al secondo membro:

(1+2k)y=–(2+4k)x–3k+1 al 2° membro raccogliamo il 2 e portiamolo fuori parentesi

(1+2k)y=–2(1+2k)x–3k+1 dividiamo ambo i membri per (1+2k) ottenendo:

$\frac{1+2k}{1+2k}y=\frac{-2(1+2k)}{1+2k}x+\frac{-3k+1}{1+2k}\\ \frac{\cancel{1+2k}}{\cancel{1+2k}}y=\frac{-2(\cancel{1+2k})}{\cancel{1+2k}}x+\frac{-3k+1}{1+2k}\\ y=-2x+\frac{-3k+1}{1+2k}$

Essendo il coefficiente dell’incognita x non dipendente dal parametro k significa che il fascio generato dalle due rette è un fascio improprio e le rette sono tutte parallele tra di loro con coefficiente angolare m=–2.

a. scriviamo l’equazione della retta passante per P(2;0) e appartenente al fascio; quindi possiamo usare la formula della retta passante per un punto di coefficiente angolare noto. Il coefficiente angolare naturalmente è quello del fascio improprio cioè m=–2:

y–yo=m(x–xo)
y–0=–2(x–2)
y=–2x+4
2x+y–4=0

b. mettiamo ora a sistema l’equazione del fascio prima con x=0 e poi con y=0; in questo modo troveremo rispettivamente i punti yo e xo cioè dove il fascio interseca gli assi y e x:
Per x=0 avremo:

$\begin{cases} \displaystyle y=-2x+\frac{-3k+1}{1+2k} \\\displaystyle x=0\end{cases}$

$\begin{cases} \displaystyle y=\frac{-3k+1}{1+2k} \\\displaystyle x=0\end{cases}$

$y_0=\frac{-3k+1}{1+2k}$

per y=0 avremo:

$\begin{cases} \displaystyle y=-2x+\frac{-3k+1}{1+2k} \\\displaystyle y=0\end{cases}$

$\begin{cases} \displaystyle -2x+\frac{-3k+1}{1+2k}=0 \\\displaystyle y=0\end{cases}$

$2x=\frac{-3k+1}{1+2k}=0$

$x_0=\frac{-3k+1}{2\cdot(1+2k)}=0$

Abbiamo trovato xo e yo che rappresentano i due cateti del triangolo rettangolo AOB. Calcoliamo ora l’area del rettangolo con la formula (Cateto maggiore x cateto minore)/2

$A_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot x_0\cdot y_0$

$A_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{-3k+1}{2(1+2k)}\cdot \frac{-3k+1}{1+2k}$

$A_{AOB}=\frac{1}{4}\cdot \frac{(-3k+1)^2}{(1+2k)^2}$

$A_{AOB}=\frac{(9k^2-6k+1)}{(16k^2+16k+4)}$

Ora come richiesto dal problema imponiamo che l’area del triangolo sia uguale a 1:

$\frac{9k^2-6k+1}{16k^2+16k+4}=1$

moltiplico ambo i membri per il denominatore:

$9k^2-6k+1=16k^2+16k+4$

$7k^2+22k+3=0$

Calcolo il delta:

$\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c=\\ =22^2-4\cdot 3\cdot 7=\\ =484-84=400$

Calcoliamo ora k1 e k2:

$k1=\displaystyle \frac{-22-\sqrt{400}}{14}\\ \displaystyle \frac{-22-20}{14}=-\frac{42}{14}=-\frac{21}{7}$

$k2=\displaystyle \frac{-22+\sqrt{400}}{14}\\ \displaystyle \frac{-22+20}{14}=-\frac{2}{14}=-\frac{1}{7}$

Sostituiamo k1 e k2 appena trovati nell’equazione del fascio e otteniamo le due rette cercate:
Per k=-21/7 avremo:

$\displaystyle y=-2x+\frac{-3k+1}{1+2k}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{-3\cdot \left (-\frac{21}{7}\right )+1}{1+2\cdot \left (-\frac{21}{7}\right )}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{\frac{63}{7}+1}{1-\frac{42}{7}}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{\frac{63+7}{7}}{\frac{7-42}{7}}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{70}{7}\cdot\left (-\frac{7}{35}\right )$

Semplificando avremo:

$\displaystyle y=-2x+\frac{\cancel{70}^2}{\cancel{7}}\cdot\left (-\frac{\cancel{7}}{\cancel{35}^1}\right)$

$y=-2x-2\\ 2x+y+2=0$

Per k=-1/7 avremo:

$\displaystyle y=-2x+\frac{-3k+1}{1+2k}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{-3\cdot \left (-\frac{1}{7}\right )+1}{1+2\cdot \left (-\frac{1}{7}\right )}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{\frac{3}{7}+1}{1-\frac{2}{7}}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{\frac{10}{7}}{\frac{5}{7}}$

$\displaystyle y=-2x+\frac{10}{7}\cdot\frac{7}{5}$

Semplificando avremo:

$\displaystyle y=-2x+\frac{\cancel{10}^2}{\cancel{7}}\cdot\frac{\cancel{7}}{\cancel{5}^1}$

$y=-2x+2\\ 2x+y-2=0$

c. Essendo il fascio di rette un fascio improprio, tutte le rette appartenenti al fascio sono parallele tra di loro con coefficiente angolare m=–2.
Se la retta x–3y–1=0 fosse perpendicolare a una retta del fascio lo sarebbe anche a tutte le altre rette (appartenenti al fascio).
Essendo il coefficiente angolare del fascio di rette m=–2, la retta perpendicolare al fascio dovrebbe avere come coefficiente angolare l’antireciproco di m cioè m’=1/2.
Considerando invece che la retta data ha come coefficiente angolare:

$m'=-\frac{a}{b}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}$

ed essendo m≠ m’, significa che non esiste nessuna retta del fascio perpendicolare alla retta data.

skuolablog Gennaio 20, 2021 G.A. Retta, Geometria Analitica Geometria Analitica No Comments »

Dato il fascio di rette di equazione (k+1)x+2(k+1)y-2

Studia il fascio di rette di equazione (k+1)x+(2–3k)y–7+3k=0 e determina

L	M	M	G	V	S	D
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

SkuolaBlog

BLOG DIDATTICO PERSONALE