Dato il fascio di rette di equazione (k+1)x+2(k+1)y-2

n.605 pag.256

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Dato il fascio di rette di equazione (k+1)x+2(k+1)y-2=0: a. stabilire se si tratta di fascio proprio o improprio individuando l’eventuale centro; b. determinare la retta del fascio passante per A(1; 0); c. determinare la retta che, incontrando l’asse x, forma con l’origine un segmento lungo 1/3.[/su_note]

Consideriamo l’equazione del fascio:
(k+1)x+2(k+1)y-2=0

eseguiamo tutte le moltiplicazioni ottenendo:
kx+x+2ky+2y-2=0

mettiamo in evidenza il parametro k ottenendo:
x+2y-2+k(x+2y)

abbiamo quindi ottenuto le due rette r ed s che danno origine al nostro fascio:
r: x+2y-2=0
s: x+2y=0

Calcoliamo i coefficienti angolari delle due rette:

a. essendo i coefficienti angolari di r ed s uguali significa che le due rette originatrici del fascio sono parallele e pertanto il fascio è improprio.

b. scriviamo ora l’equazione della retta del fascio passante per il punto A(1;0) e dovendo essere parallela a tutte le rette del fascio improprio avrà coefficiente angolare uguale a quello di r ed s. Usiamo la formula seguente:
y-yo=m(x-xo)

Moltiplico tutto per 2 ottenendo:
2y=-x+1
x+2y-1=0

c. per rispondere alla domanda c., i punti che incontrando l’asse x e formano con l’origine un segmento lungo 1/3 sono due e precisamente P(1/3; 0) e Q(-1/3; 0). Pertanto per trovare k dobbiamo imporre che il fascio di rette passi prima per P e poi per Q:

– retta del fascio passante per P: sostituisco nell’equazione del fascio x=1/3 e y=0 ottenendo:

moltiplico ambo i membri per 3 ottenendo:

– analogamente per la retta del fascio passante per Q: sostituisco nell’equazione del fascio x=-1/3 e y=0 ottenendo: