Formulario geometria analitica

Formulario geometria analitica

Equazione della retta in forma esplicita:

y=mx+q

dove m è il coefficiente angolare della retta

Equazione della retta in forma implicita:

ax+by+c=0

Se a=0 la retta è parallela all’asse x, se b=0 la retta parallela all’asse y

Coefficiente angolare della retta in forma implicita y = mx + q

m=-\frac{a}{b}\;,\; b\neq o

se la retta è parallela all’asse x, m=0; se invece è parallela all’asse y, m=∞ (in questo caso non esiste coefficiente angolare)

Coefficiente angolare della retta conoscendo due punti:

Consideriamo due punti A(x_A\;;\;\;y_A) e B(x_B\;;\;\;y_B), il coefficiente angolare della retta passante per i due punti è dato da:

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Angolo formato dalla retta data con l’asse x con coefficiente angolare noto:

\alpha=arctan\;m

Angolo formato da due rette con coefficienti angolari noti (m e m’ coefficienti angolari delle due rette):

\alpha=arctan\left(\frac{m-m'}{1+m\cdot m'}\right)

Condizione di parallelismo tra due rette in forma esplicita: y=mx+qy=m‘x+q’

m=m'

Condizione di parallelismo tra due rette in forma implicita: y=ax+by+cy=a‘x+b’y+c’

\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}

Condizione di perpendicolarità tra due rette in forma esplicita:

m=-\frac{1}{m'} oppure m\cdot m'=-1

Condizione di perpendicolarità tra due rette in forma implicita:

a\cdot a'+b\cdot b'=0

Bisettrice I e III quadrante:

y=x

Bisettrice II e IV quadrante:

y=-x

Equazione della retta passante per due punti:

Consideriamo due punti  A(x_A\;;\;\;y_A) e B(x_B\;;\;\;y_B), l’equazione della retta passante per i due punti è data da:

\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}

Equazione di una retta passante per un punto e con coefficiente angolare dato:

y-y_A=m(x-x_A)

Dove m è il coefficiente angolare della retta e A(xA ; xB) il punto per cui passa la retta

Distanza fra due punti:

Consideriamo due punti A(x_A,\;\;\;y_A) e B(x_B,\;\;\;y_B)

La formula per calcolare la distanza AB è la seguente:

\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Distanza fra due punti con uguale ascissa:

\overline{AB} = \middle|y_B-y_A \middle|

Distanza fra due punti con uguale ordinata:

\overline{AB} = \middle|x_B-x_A\middle|

Distanza di un punto da una retta in forma implicita:

Consideriamo un punto P(x_P\;;\;\;y_P) e l’equazione di una retta in forma implicita ax+by+c=0, la distanza del punto dalla retta è:

d=\frac{\middle|ax_P+by_P+c\middle|}{\sqrt{a^2+b^2}

Distanza di un punto da una retta in forma esplicita:

Consideriamo un punto P(x_P\;;\;\;y_P) e l’equazione di una retta in forma esplicitay=mx+q, la distanza del punto dalla retta è:

d=\frac{\middle|y_P-mx_P-q\middle|}{\sqrt{1+m^2}

Punto medio di un segmento:

Consideriamo due punti A(x_A\;;\;\;y_A) e B(x_B\;;\;\;y_B)

La formula per calcolare le coordinate del punto medio  M(x_M\;;\;\;y_M) del segmento AB  è la seguente:

(x_M,\;\;\;y_M) = \(\frac{x_A+x_B}{2},\;\;\;\frac{y_A+y_B}{2}\)

Equazione di un fascio proprio di rette passante per un punto:

Consideriamo un punto A(x_A\;;\;\;y_A)

L’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto dato è:

y-y_A=m(x-x_A)

Fascio improprio di rette (fascio di rette parallele):

Visto che le rette sono tutte parallele allora da una retta all’altra varierà solo l’ordinata all’origine, cioè q, quindi prenderemo come equazione del fascio:

y = mx + q(k)

dove q è variabile al variare del parametro k

Baricentro di un triangolo:

Consideriamo un triangolo con vertici A(x_A\;;\;\;y_A), B(x_B\;;\;\;y_B) e C(x_C\;;\;\;y_C), la formula per calcolare le coordinate del baricentro del triangolo G(x_G\;;\;\;y_G)  è la seguente:

(x_G\;;\;\;y_G) = \(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\;;\;\;\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\)

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