[Fisica] Un cestista alto 2,0m effettua un tiro libero. La linea del tiro libero dista in orizzontale 4,6m dal canestro che si trova a 3,05m dal suolo

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[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Un cestista alto 2,0 m effettua un tiro libero. La linea del tiro libero dista in orizzontale 4,6 m dal canestro che si trova a 3,05 m dal suolo. Il cestista tira la palla con un angolo di 45° rispetto al suolo. Quale velocità deve dare il cestista alla palla per fare canestro?[/su_note]

DATI del problema:

xo=0
yo=2m (altezza cestista)
x=4,6m (x finale, lunghezza a cui arriva il pallone)
y=3,05m (y finale, altezza a cui arriva il pallone)

Disegniamo uno schema/grafico del problema:

 

Le equazioni orarie del pallone lungo gli assi x e y sono:

\begin{cases}
x=x_0+v_0\cdot t \\
y=y_0+v_0\cdot t-\frac{1}{2}gt^2
\end{cases}

Nella 1^ equazione xo=0 mentre la componente di vo lungo l’asse x è data da vo*cos(α); lungo l’asse y invece avremo che yo=2m mentre la componente di vo lungo l’asse y è data da vo*sen(α) per cui possiamo scrivere:

\begin{cases}
x=0+v_0\cdot cos(\alpha)\cdot t \\
y=y_0+v_0\cdot sen(\alpha)\cdot t-\displaystyle \frac{1}{2}gt^2
\end{cases}

Calcoliamo t dalla 1^ equazione:

t=\displaystyle \frac{x}{v_0\cdot cos(\alpha)}

sostituendo t nella 2^ equazione avremo:

y=y_0+\cancel{v_0}\cdot sen(\alpha)\cdot \frac{x}{\cancel{v_0}\cdot cos(\alpha)}-\displaystyle \frac{1}{2}g\cdot \left (\frac{x}{v_0\cdot cos(\alpha)} \right )^2

y=y_0+x\cdot tg(\alpha)-\displaystyle \frac{1}{2}g\cdot \frac{x^2}{v_0^2\cdot cos^2(\alpha)}

Calcoliamo ora vo:

\displaystyle \frac{1}{2}g\cdot \frac{x^2}{v_0^2\cdot cos^2(\alpha)}=y_0+x\cdot tg(\alpha)-y

\frac{1}{v_0^2}=(y_0+x\cdot tg(\alpha)-y)\cdot \frac{2\cdot cos^2(\alpha)}{x^2\cdot g}

v_0^2=\frac{x^2\cdot g}{2\cdot cos^2(\alpha)\cdot (y_0+x\cdot tg(\alpha)-y)}

v_0=\sqrt{\frac{x^2\cdot g}{2\cdot cos^2(\alpha)\cdot (y_0+x\cdot tg(\alpha)-y)}}

Sostituendo ora i dati in nostro possesso avremo:

v_0=\sqrt{\frac{4,6^2\cdot 9,8}{2\cdot cos^2(45^\circ)\cdot (2+4,6\cdot tg(45^\circ)-3,05)}}

v_0=\sqrt{\frac{207,368}{2\cdot \left (\displaystyle \frac{\sqrt2}{2} \right )^2\cdot (2+4,6\cdot 1-3,05)}}

v_0=\sqrt{\frac{207,368}{3,55}}\approx 7,6\;m/s

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